Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105128 / 99688
↖ ↑ ↗
← S 67.982872°
E108.742676°		 ← 114.50 m → S 67.982872°
E108.745423°		 →
↑
114.49 m
↓
↑
114.49 m
↓
S 67.983902°
E108.742676°		 ← 114.49 m →
13 108 m²		 S 67.983902°
E108.745423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802066802978516 y=0.760562896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802066802978516 × 217)
    floor (0.802066802978516 × 131072)
    floor (105128.5)     		tx = 105128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760562896728516 × 217)
    floor (0.760562896728516 × 131072)
    floor (99688.5)     		ty = 99688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105128 / 99688 ti = "17/105128/99688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105128/99688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105128 ÷ 217
    105128 ÷ 131072     		x = 0.80206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99688 ÷ 217
    99688 ÷ 131072     		y = 0.76055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80206298828125 × 2 - 1) × π
    0.6041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89791773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76055908203125 × 2 - 1) × π
    -0.5211181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63714099582416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89791773} λ = 1.89791773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63714099582416))-π/2
    2×atan(0.194535425585106)-π/2
    2×0.192135682332237-π/2
    0.384271364664473-1.57079632675     		φ = -1.18652496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89791773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18652496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.982872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105128 KachelY 99688 1.89791773 -1.18652496 108.742676 -67.982872
    Oben rechts KachelX + 1 105129 KachelY 99688 1.89796567 -1.18652496 108.745423 -67.982872
    Unten links KachelX 105128 KachelY + 1 99689 1.89791773 -1.18654293 108.742676 -67.983902
    Unten rechts KachelX + 1 105129 KachelY + 1 99689 1.89796567 -1.18654293 108.745423 -67.983902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18652496--1.18654293) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dl = 114.486870000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18652496--1.18654293) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dr = 114.486870000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89791773-1.89796567) × cos(-1.18652496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37488374100141 × 6371000     		do = 114.499144009249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89791773-1.89796567) × cos(-1.18654293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374867081460071 × 6371000     		du = 114.494055756507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18652496)-sin(-1.18654293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37488374100141-0.374867081460071)×R²
    abs(1.89796567-1.89791773)×1.66595413398363e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66595413398363e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66595413398363e-05×40589641000000     		ar = 13108.3573466417m²