Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105125 / 99617
↖ ↑ ↗
← S 67.909652°
E108.734436°		 ← 114.86 m → S 67.909652°
E108.737183°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
S 67.910685°
E108.734436°		 ← 114.86 m →
13 194 m²		 S 67.910685°
E108.737183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802043914794922 y=0.760021209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802043914794922 × 217)
    floor (0.802043914794922 × 131072)
    floor (105125.5)     		tx = 105125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760021209716797 × 217)
    floor (0.760021209716797 × 131072)
    floor (99617.5)     		ty = 99617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105125 / 99617 ti = "17/105125/99617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105125/99617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105125 ÷ 217
    105125 ÷ 131072     		x = 0.802040100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99617 ÷ 217
    99617 ÷ 131072     		y = 0.760017395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802040100097656 × 2 - 1) × π
    0.604080200195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.89777392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760017395019531 × 2 - 1) × π
    -0.520034790039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.63373747595113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89777392} λ = 1.89777392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63373747595113))-π/2
    2×atan(0.19519865879556)-π/2
    2×0.192774651829116-π/2
    0.385549303658231-1.57079632675     		φ = -1.18524702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89777392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.734436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18524702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.909652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105125 KachelY 99617 1.89777392 -1.18524702 108.734436 -67.909652
    Oben rechts KachelX + 1 105126 KachelY 99617 1.89782186 -1.18524702 108.737183 -67.909652
    Unten links KachelX 105125 KachelY + 1 99618 1.89777392 -1.18526505 108.734436 -67.910685
    Unten rechts KachelX + 1 105126 KachelY + 1 99618 1.89782186 -1.18526505 108.737183 -67.910685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18524702--1.18526505) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dl = 114.869129999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18524702--1.18526505) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dr = 114.869129999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89777392-1.89782186) × cos(-1.18524702) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.376068176738244 × 6371000     		do = 114.860901171186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89777392-1.89782186) × cos(-1.18526505) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.376051470223437 × 6371000     		du = 114.855798571538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18524702)-sin(-1.18526505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376068176738244-0.376051470223437)×R²
    abs(1.89782186-1.89777392)×1.67065148072298e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.67065148072298e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.67065148072298e-05×40589641000000     		ar = 13193.6787231409m²