Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105120 / 99936
↖ ↑ ↗
← S 68.236823°
E108.720703°		 ← 113.24 m → S 68.236823°
E108.723450°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 68.237841°
E108.720703°		 ← 113.24 m →
12 820 m²		 S 68.237841°
E108.723450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802005767822266 y=0.762454986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802005767822266 × 217)
    floor (0.802005767822266 × 131072)
    floor (105120.5)     		tx = 105120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762454986572266 × 217)
    floor (0.762454986572266 × 131072)
    floor (99936.5)     		ty = 99936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105120 / 99936 ti = "17/105120/99936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105120/99936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105120 ÷ 217
    105120 ÷ 131072     		x = 0.802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99936 ÷ 217
    99936 ÷ 131072     		y = 0.762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802001953125 × 2 - 1) × π
    0.60400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89753423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.52490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64902934692993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89753423} λ = 1.89753423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64902934692993))-π/2
    2×atan(0.192236412955022)-π/2
    2×0.189919549717177-π/2
    0.379839099434353-1.57079632675     		φ = -1.19095723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89753423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19095723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.236823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105120 KachelY 99936 1.89753423 -1.19095723 108.720703 -68.236823
    Oben rechts KachelX + 1 105121 KachelY 99936 1.89758217 -1.19095723 108.723450 -68.236823
    Unten links KachelX 105120 KachelY + 1 99937 1.89753423 -1.19097500 108.720703 -68.237841
    Unten rechts KachelX + 1 105121 KachelY + 1 99937 1.89758217 -1.19097500 108.723450 -68.237841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19095723--1.19097500) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19095723--1.19097500) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89753423-1.89758217) × cos(-1.19095723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370771039495761 × 6371000     		do = 113.243019108488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89753423-1.89758217) × cos(-1.19097500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370754536006307 × 6371000     		du = 113.237978518009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19095723)-sin(-1.19097500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370771039495761-0.370754536006307)×R²
    abs(1.89758217-1.89753423)×1.65034894536453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65034894536453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65034894536453e-05×40589641000000     		ar = 12820.2592232045m²