Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10512 / 2639
↖ ↑ ↗
← N 76.439756°
E 50.976563°		 ← 572.85 m → N 76.439756°
E 50.998535°		 →
↑
572.94 m
↓
↑
572.94 m
↓
N 76.434604°
E 50.976563°		 ← 573.07 m →
328 275 m²		 N 76.434604°
E 50.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641632080078125 y=0.161102294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641632080078125 × 214)
    floor (0.641632080078125 × 16384)
    floor (10512.5)     		tx = 10512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161102294921875 × 214)
    floor (0.161102294921875 × 16384)
    floor (2639.5)     		ty = 2639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10512 / 2639 ti = "14/10512/2639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10512/2639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10512 ÷ 214
    10512 ÷ 16384     		x = 0.6416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2639 ÷ 214
    2639 ÷ 16384     		y = 0.16107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16107177734375 × 2 - 1) × π
    0.6778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12954882872137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88970886} λ = 0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12954882872137))-π/2
    2×atan(8.41107112153887)-π/2
    2×1.45246087787149-π/2
    2.90492175574298-1.57079632675     		φ = 1.33412543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33412543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.439756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10512 KachelY 2639 0.88970886 1.33412543 50.976563 76.439756
    Oben rechts KachelX + 1 10513 KachelY 2639 0.89009235 1.33412543 50.998535 76.439756
    Unten links KachelX 10512 KachelY + 1 2640 0.88970886 1.33403550 50.976563 76.434604
    Unten rechts KachelX + 1 10513 KachelY + 1 2640 0.89009235 1.33403550 50.998535 76.434604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33412543-1.33403550) × R
    8.99300000001269e-05 × 6371000     		dl = 572.944030000808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33412543-1.33403550) × R
    8.99300000001269e-05 × 6371000     		dr = 572.944030000808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88970886-0.89009235) × cos(1.33412543) × R
    0.000383489999999931 × 0.23446763081558 × 6371000     		do = 572.85478338478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88970886-0.89009235) × cos(1.33403550) × R
    0.000383489999999931 × 0.23455505297213 × 6371000     		du = 573.068374490638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33412543)-sin(1.33403550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23446763081558-0.23455505297213)×R²
    abs(0.89009235-0.88970886)×8.74221565503319e-05×R²
    0.000383489999999931×8.74221565503319e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.74221565503319e-05×40589641000000     		ar = 328274.916294246m²