Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105119 / 99935
↖ ↑ ↗
← S 68.235804°
E108.717957°		 ← 113.22 m → S 68.235804°
E108.720703°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 68.236823°
E108.717957°		 ← 113.22 m →
12 825 m²		 S 68.236823°
E108.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801998138427734 y=0.762447357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801998138427734 × 217)
    floor (0.801998138427734 × 131072)
    floor (105119.5)     		tx = 105119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762447357177734 × 217)
    floor (0.762447357177734 × 131072)
    floor (99935.5)     		ty = 99935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105119 / 99935 ti = "17/105119/99935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105119/99935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105119 ÷ 217
    105119 ÷ 131072     		x = 0.801994323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99935 ÷ 217
    99935 ÷ 131072     		y = 0.762443542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801994323730469 × 2 - 1) × π
    0.603988647460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.89748630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762443542480469 × 2 - 1) × π
    -0.524887084960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.64898141003031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89748630} λ = 1.89748630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64898141003031))-π/2
    2×atan(0.192245628393531)-π/2
    2×0.18992843672211-π/2
    0.37985687344422-1.57079632675     		φ = -1.19093945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89748630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.717957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19093945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.235804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105119 KachelY 99935 1.89748630 -1.19093945 108.717957 -68.235804
    Oben rechts KachelX + 1 105120 KachelY 99935 1.89753423 -1.19093945 108.720703 -68.235804
    Unten links KachelX 105119 KachelY + 1 99936 1.89748630 -1.19095723 108.717957 -68.236823
    Unten rechts KachelX + 1 105120 KachelY + 1 99936 1.89753423 -1.19095723 108.720703 -68.236823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19093945--1.19095723) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19093945--1.19095723) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89748630-1.89753423) × cos(-1.19093945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370787552155313 × 6371000     		do = 113.224439624946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89748630-1.89753423) × cos(-1.19095723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370771039495761 × 6371000     		du = 113.219397285705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19093945)-sin(-1.19095723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370787552155313-0.370771039495761)×R²
    abs(1.89753423-1.89748630)×1.65126595515486e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65126595515486e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65126595515486e-05×40589641000000     		ar = 12825.3690596525m²