Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105118 / 99930
↖ ↑ ↗
← S 68.230712°
E108.715210°		 ← 113.27 m → S 68.230712°
E108.717957°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 68.231730°
E108.715210°		 ← 113.27 m →
12 831 m²		 S 68.231730°
E108.717957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801990509033203 y=0.762409210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801990509033203 × 217)
    floor (0.801990509033203 × 131072)
    floor (105118.5)     		tx = 105118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762409210205078 × 217)
    floor (0.762409210205078 × 131072)
    floor (99930.5)     		ty = 99930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105118 / 99930 ti = "17/105118/99930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105118/99930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105118 ÷ 217
    105118 ÷ 131072     		x = 0.801986694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99930 ÷ 217
    99930 ÷ 131072     		y = 0.762405395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801986694335938 × 2 - 1) × π
    0.603973388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89743836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762405395507812 × 2 - 1) × π
    -0.524810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64874172553221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89743836} λ = 1.89743836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64874172553221))-π/2
    2×atan(0.192291712213053)-π/2
    2×0.189972877681927-π/2
    0.379945755363854-1.57079632675     		φ = -1.19085057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89743836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.715210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19085057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.230712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105118 KachelY 99930 1.89743836 -1.19085057 108.715210 -68.230712
    Oben rechts KachelX + 1 105119 KachelY 99930 1.89748630 -1.19085057 108.717957 -68.230712
    Unten links KachelX 105118 KachelY + 1 99931 1.89743836 -1.19086835 108.715210 -68.231730
    Unten rechts KachelX + 1 105119 KachelY + 1 99931 1.89748630 -1.19086835 108.717957 -68.231730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19085057--1.19086835) × R
    1.77799999998562e-05 × 6371000     		dl = 113.276379999084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19085057--1.19086835) × R
    1.77799999998562e-05 × 6371000     		dr = 113.276379999084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89743836-1.89748630) × cos(-1.19085057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370870095121023 × 6371000     		do = 113.273273246135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89743836-1.89748630) × cos(-1.19086835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370853583047475 × 6371000     		du = 113.268230033852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19085057)-sin(-1.19086835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370870095121023-0.370853583047475)×R²
    abs(1.89748630-1.89743836)×1.65120735486357e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65120735486357e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65120735486357e-05×40589641000000     		ar = 12830.9007058146m²