Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105113 / 99711
↖ ↑ ↗
← S 68.006543°
E108.701477°		 ← 114.36 m → S 68.006543°
E108.704223°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
S 68.007571°
E108.701477°		 ← 114.35 m →
13 078 m²		 S 68.007571°
E108.704223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801952362060547 y=0.760738372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801952362060547 × 217)
    floor (0.801952362060547 × 131072)
    floor (105113.5)     		tx = 105113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760738372802734 × 217)
    floor (0.760738372802734 × 131072)
    floor (99711.5)     		ty = 99711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105113 / 99711 ti = "17/105113/99711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105113/99711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105113 ÷ 217
    105113 ÷ 131072     		x = 0.801948547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99711 ÷ 217
    99711 ÷ 131072     		y = 0.760734558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801948547363281 × 2 - 1) × π
    0.603897094726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.89719868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760734558105469 × 2 - 1) × π
    -0.521469116210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.63824354451542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89719868} λ = 1.89719868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63824354451542))-π/2
    2×atan(0.194321059002736)-π/2
    2×0.191929124134069-π/2
    0.383858248268138-1.57079632675     		φ = -1.18693808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89719868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.701477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18693808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.006543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105113 KachelY 99711 1.89719868 -1.18693808 108.701477 -68.006543
    Oben rechts KachelX + 1 105114 KachelY 99711 1.89724661 -1.18693808 108.704223 -68.006543
    Unten links KachelX 105113 KachelY + 1 99712 1.89719868 -1.18695603 108.701477 -68.007571
    Unten rechts KachelX + 1 105114 KachelY + 1 99712 1.89724661 -1.18695603 108.704223 -68.007571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18693808--1.18695603) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dl = 114.359449999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18693808--1.18695603) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dr = 114.359449999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89719868-1.89724661) × cos(-1.18693808) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374500717106928 × 6371000     		do = 114.358299212297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89719868-1.89724661) × cos(-1.18695603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374484073328689 × 6371000     		du = 114.353216834387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18693808)-sin(-1.18695603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374500717106928-0.374484073328689)×R²
    abs(1.89724661-1.89719868)×1.66437782384565e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66437782384565e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66437782384565e-05×40589641000000     		ar = 13077.6615923446m²