Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105111 / 97478
↖ ↑ ↗
← S 65.592530°
E108.695984°		 ← 126.21 m → S 65.592530°
E108.698731°		 →
↑
126.21 m
↓
↑
126.21 m
↓
S 65.593665°
E108.695984°		 ← 126.20 m →
15 928 m²		 S 65.593665°
E108.698731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801937103271484 y=0.743701934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801937103271484 × 217)
    floor (0.801937103271484 × 131072)
    floor (105111.5)     		tx = 105111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743701934814453 × 217)
    floor (0.743701934814453 × 131072)
    floor (97478.5)     		ty = 97478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105111 / 97478 ti = "17/105111/97478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105111/97478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105111 ÷ 217
    105111 ÷ 131072     		x = 0.801933288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97478 ÷ 217
    97478 ÷ 131072     		y = 0.743698120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801933288574219 × 2 - 1) × π
    0.603866577148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.89710280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743698120117188 × 2 - 1) × π
    -0.487396240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53120044766383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89710280} λ = 1.89710280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53120044766383))-π/2
    2×atan(0.216275883539652)-π/2
    2×0.212995351365131-π/2
    0.425990702730262-1.57079632675     		φ = -1.14480562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89710280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.695984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14480562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.592530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105111 KachelY 97478 1.89710280 -1.14480562 108.695984 -65.592530
    Oben rechts KachelX + 1 105112 KachelY 97478 1.89715074 -1.14480562 108.698731 -65.592530
    Unten links KachelX 105111 KachelY + 1 97479 1.89710280 -1.14482543 108.695984 -65.593665
    Unten rechts KachelX + 1 105112 KachelY + 1 97479 1.89715074 -1.14482543 108.698731 -65.593665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14480562--1.14482543) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dl = 126.209509999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14480562--1.14482543) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dr = 126.209509999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89710280-1.89715074) × cos(-1.14480562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413223151512533 × 6371000     		do = 126.208986835765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89710280-1.89715074) × cos(-1.14482543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413205111855175 × 6371000     		du = 126.203477060067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14480562)-sin(-1.14482543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413223151512533-0.413205111855175)×R²
    abs(1.89715074-1.89710280)×1.8039657357749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8039657357749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8039657357749e-05×40589641000000     		ar = 15928.4266936492m²