Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10509 / 6158
↖ ↑ ↗
← N 81.081299°
W122.272339°		 ← 94.70 m → N 81.081299°
W122.266846°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
N 81.080448°
W122.272339°		 ← 94.71 m →
8 966 m²		 N 81.080448°
W122.266846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160362243652344 y=0.0939712524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160362243652344 × 216)
    floor (0.160362243652344 × 65536)
    floor (10509.5)     		tx = 10509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0939712524414062 × 216)
    floor (0.0939712524414062 × 65536)
    floor (6158.5)     		ty = 6158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10509 / 6158 ti = "16/10509/6158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10509/6158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10509 ÷ 216
    10509 ÷ 65536     		x = 0.160354614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6158 ÷ 216
    6158 ÷ 65536     		y = 0.093963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.160354614257812 × 2 - 1) × π
    -0.679290771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.13405490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093963623046875 × 2 - 1) × π
    0.81207275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55120179777939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13405490} λ = -2.13405490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55120179777939))-π/2
    2×atan(12.8225045840202)-π/2
    2×1.49296597860773-π/2
    2.98593195721546-1.57079632675     		φ = 1.41513563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13405490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.272339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41513563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.081299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10509 KachelY 6158 -2.13405490 1.41513563 -122.272339 81.081299
    Oben rechts KachelX + 1 10510 KachelY 6158 -2.13395902 1.41513563 -122.266846 81.081299
    Unten links KachelX 10509 KachelY + 1 6159 -2.13405490 1.41512077 -122.272339 81.080448
    Unten rechts KachelX + 1 10510 KachelY + 1 6159 -2.13395902 1.41512077 -122.266846 81.080448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41513563-1.41512077) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dl = 94.6730600003882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41513563-1.41512077) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dr = 94.6730600003882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13405490--2.13395902) × cos(1.41513563) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.155032841600336 × 6371000     		do = 94.7020407405475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13405490--2.13395902) × cos(1.41512077) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.155047521915665 × 6371000     		du = 94.7110082328929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41513563)-sin(1.41512077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155032841600336-0.155047521915665)×R²
    abs(-2.13395902--2.13405490)×1.4680315328558e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.4680315328558e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.4680315328558e-05×40589641000000     		ar = 8966.15647536401m²