Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105081 / 43483
↖ ↑ ↗
← N 51.681071°
E108.613587°		 ← 189.34 m → N 51.681071°
E108.616333°		 →
↑
189.41 m
↓
↑
189.41 m
↓
N 51.679368°
E108.613587°		 ← 189.34 m →
35 863 m²		 N 51.679368°
E108.616333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801708221435547 y=0.331752777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801708221435547 × 217)
    floor (0.801708221435547 × 131072)
    floor (105081.5)     		tx = 105081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331752777099609 × 217)
    floor (0.331752777099609 × 131072)
    floor (43483.5)     		ty = 43483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105081 / 43483 ti = "17/105081/43483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105081/43483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105081 ÷ 217
    105081 ÷ 131072     		x = 0.801704406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43483 ÷ 217
    43483 ÷ 131072     		y = 0.331748962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801704406738281 × 2 - 1) × π
    0.603408813476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.89566470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331748962402344 × 2 - 1) × π
    0.336502075195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.0571524473211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89566470} λ = 1.89566470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0571524473211))-π/2
    2×atan(2.87816358687635)-π/2
    2×1.2364005872845-π/2
    2.472801174569-1.57079632675     		φ = 0.90200485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89566470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.613587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90200485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.681071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105081 KachelY 43483 1.89566470 0.90200485 108.613587 51.681071
    Oben rechts KachelX + 1 105082 KachelY 43483 1.89571263 0.90200485 108.616333 51.681071
    Unten links KachelX 105081 KachelY + 1 43484 1.89566470 0.90197512 108.613587 51.679368
    Unten rechts KachelX + 1 105082 KachelY + 1 43484 1.89571263 0.90197512 108.616333 51.679368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90200485-0.90197512) × R
    2.97299999999501e-05 × 6371000     		dl = 189.409829999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90200485-0.90197512) × R
    2.97299999999501e-05 × 6371000     		dr = 189.409829999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89566470-1.89571263) × cos(0.90200485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.620038267111504 × 6371000     		do = 189.336143922967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89566470-1.89571263) × cos(0.90197512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.620061592150238 × 6371000     		du = 189.343266504145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90200485)-sin(0.90197512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620038267111504-0.620061592150238)×R²
    abs(1.89571263-1.89566470)×2.33250387337014e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33250387337014e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33250387337014e-05×40589641000000     		ar = 35862.8013793628m²