Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10508 / 6364
↖ ↑ ↗
← N 80.904143°
W122.277832°		 ← 96.56 m → N 80.904143°
W122.272339°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
N 80.903274°
W122.277832°		 ← 96.57 m →
9 326 m²		 N 80.903274°
W122.272339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160346984863281 y=0.0971145629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160346984863281 × 216)
    floor (0.160346984863281 × 65536)
    floor (10508.5)     		tx = 10508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0971145629882812 × 216)
    floor (0.0971145629882812 × 65536)
    floor (6364.5)     		ty = 6364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10508 / 6364 ti = "16/10508/6364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10508/6364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10508 ÷ 216
    10508 ÷ 65536     		x = 0.16033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6364 ÷ 216
    6364 ÷ 65536     		y = 0.09710693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.6793212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.13415077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09710693359375 × 2 - 1) × π
    0.8057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53145179513593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13415077} λ = -2.13415077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53145179513593))-π/2
    2×atan(12.5717444917905)-π/2
    2×1.49141999859631-π/2
    2.98283999719262-1.57079632675     		φ = 1.41204367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13415077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.277832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41204367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.904143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10508 KachelY 6364 -2.13415077 1.41204367 -122.277832 80.904143
    Oben rechts KachelX + 1 10509 KachelY 6364 -2.13405490 1.41204367 -122.272339 80.904143
    Unten links KachelX 10508 KachelY + 1 6365 -2.13415077 1.41202851 -122.277832 80.903274
    Unten rechts KachelX + 1 10509 KachelY + 1 6365 -2.13405490 1.41202851 -122.272339 80.903274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41204367-1.41202851) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41204367-1.41202851) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13415077--2.13405490) × cos(1.41204367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158086671750953 × 6371000     		do = 96.5574057054842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13415077--2.13405490) × cos(1.41202851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158101641099421 × 6371000     		du = 96.5665488004538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41204367)-sin(1.41202851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158086671750953-0.158101641099421)×R²
    abs(-2.13405490--2.13415077)×1.49693484687852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49693484687852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49693484687852e-05×40589641000000     		ar = 9326.37677337874m²