Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105075 / 43486
↖ ↑ ↗
← N 51.675961°
E108.597107°		 ← 189.40 m → N 51.675961°
E108.599853°		 →
↑
189.35 m
↓
↑
189.35 m
↓
N 51.674259°
E108.597107°		 ← 189.40 m →
35 862 m²		 N 51.674259°
E108.599853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801662445068359 y=0.331775665283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801662445068359 × 217)
    floor (0.801662445068359 × 131072)
    floor (105075.5)     		tx = 105075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331775665283203 × 217)
    floor (0.331775665283203 × 131072)
    floor (43486.5)     		ty = 43486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105075 / 43486 ti = "17/105075/43486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105075/43486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105075 ÷ 217
    105075 ÷ 131072     		x = 0.801658630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43486 ÷ 217
    43486 ÷ 131072     		y = 0.331771850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801658630371094 × 2 - 1) × π
    0.603317260742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.89537707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331771850585938 × 2 - 1) × π
    0.336456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05700863662224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89537707} λ = 1.89537707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05700863662224))-π/2
    2×atan(2.87774970592045)-π/2
    2×1.23635600070088-π/2
    2.47271200140175-1.57079632675     		φ = 0.90191567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89537707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.597107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90191567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.675961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105075 KachelY 43486 1.89537707 0.90191567 108.597107 51.675961
    Oben rechts KachelX + 1 105076 KachelY 43486 1.89542501 0.90191567 108.599853 51.675961
    Unten links KachelX 105075 KachelY + 1 43487 1.89537707 0.90188595 108.597107 51.674259
    Unten rechts KachelX + 1 105076 KachelY + 1 43487 1.89542501 0.90188595 108.599853 51.674259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90191567-0.90188595) × R
    2.97199999998998e-05 × 6371000     		dl = 189.346119999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90191567-0.90188595) × R
    2.97199999998998e-05 × 6371000     		dr = 189.346119999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89537707-1.89542501) × cos(0.90191567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620108232738355 × 6371000     		do = 189.39701586408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89537707-1.89542501) × cos(0.90188595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620131548288066 × 6371000     		du = 189.404137033104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90191567)-sin(0.90188595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620108232738355-0.620131548288066)×R²
    abs(1.89542501-1.89537707)×2.33155497108006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33155497108006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33155497108006e-05×40589641000000     		ar = 35862.2642788904m²