Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105062 / 43499
↖ ↑ ↗
← N 51.653815°
E108.561401°		 ← 189.49 m → N 51.653815°
E108.564148°		 →
↑
189.47 m
↓
↑
189.47 m
↓
N 51.652111°
E108.561401°		 ← 189.50 m →
35 904 m²		 N 51.652111°
E108.564148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801563262939453 y=0.331874847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801563262939453 × 217)
    floor (0.801563262939453 × 131072)
    floor (105062.5)     		tx = 105062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331874847412109 × 217)
    floor (0.331874847412109 × 131072)
    floor (43499.5)     		ty = 43499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105062 / 43499 ti = "17/105062/43499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105062/43499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105062 ÷ 217
    105062 ÷ 131072     		x = 0.801559448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43499 ÷ 217
    43499 ÷ 131072     		y = 0.331871032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801559448242188 × 2 - 1) × π
    0.603118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89475389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331871032714844 × 2 - 1) × π
    0.336257934570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.05638545692718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89475389} λ = 1.89475389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05638545692718))-π/2
    2×atan(2.87595690941147)-π/2
    2×1.23616273403746-π/2
    2.47232546807491-1.57079632675     		φ = 0.90152914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89475389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.561401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90152914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.653815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105062 KachelY 43499 1.89475389 0.90152914 108.561401 51.653815
    Oben rechts KachelX + 1 105063 KachelY 43499 1.89480183 0.90152914 108.564148 51.653815
    Unten links KachelX 105062 KachelY + 1 43500 1.89475389 0.90149940 108.561401 51.652111
    Unten rechts KachelX + 1 105063 KachelY + 1 43500 1.89480183 0.90149940 108.564148 51.652111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90152914-0.90149940) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dl = 189.473540000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90152914-0.90149940) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dr = 189.473540000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89475389-1.89480183) × cos(0.90152914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620411425481318 × 6371000     		do = 189.489618731962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89475389-1.89480183) × cos(0.90149940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620434749590716 × 6371000     		du = 189.496742515335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90152914)-sin(0.90149940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620411425481318-0.620434749590716)×R²
    abs(1.89480183-1.89475389)×2.33241093972048e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33241093972048e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33241093972048e-05×40589641000000     		ar = 35903.9437412752m²