Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105060 / 43498
↖ ↑ ↗
← N 51.655519°
E108.555908°		 ← 189.48 m → N 51.655519°
E108.558655°		 →
↑
189.47 m
↓
↑
189.47 m
↓
N 51.653815°
E108.555908°		 ← 189.49 m →
35 903 m²		 N 51.653815°
E108.558655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801548004150391 y=0.331867218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801548004150391 × 217)
    floor (0.801548004150391 × 131072)
    floor (105060.5)     		tx = 105060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331867218017578 × 217)
    floor (0.331867218017578 × 131072)
    floor (43498.5)     		ty = 43498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105060 / 43498 ti = "17/105060/43498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105060/43498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105060 ÷ 217
    105060 ÷ 131072     		x = 0.801544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43498 ÷ 217
    43498 ÷ 131072     		y = 0.331863403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801544189453125 × 2 - 1) × π
    0.60308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89465802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331863403320312 × 2 - 1) × π
    0.336273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0564333938268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89465802} λ = 1.89465802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0564333938268))-π/2
    2×atan(2.87609477717359)-π/2
    2×1.23617760405802-π/2
    2.47235520811603-1.57079632675     		φ = 0.90155888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89465802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90155888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.655519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105060 KachelY 43498 1.89465802 0.90155888 108.555908 51.655519
    Oben rechts KachelX + 1 105061 KachelY 43498 1.89470596 0.90155888 108.558655 51.655519
    Unten links KachelX 105060 KachelY + 1 43499 1.89465802 0.90152914 108.555908 51.653815
    Unten rechts KachelX + 1 105061 KachelY + 1 43499 1.89470596 0.90152914 108.558655 51.653815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90155888-0.90152914) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dl = 189.473540000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90155888-0.90152914) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dr = 189.473540000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89465802-1.89470596) × cos(0.90155888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620388100823187 × 6371000     		do = 189.482494780992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89465802-1.89470596) × cos(0.90152914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620411425481318 × 6371000     		du = 189.489618731962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90155888)-sin(0.90152914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620388100823187-0.620411425481318)×R²
    abs(1.89470596-1.89465802)×2.33246581310409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33246581310409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33246581310409e-05×40589641000000     		ar = 35902.5939568239m²