Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105054 / 43493
↖ ↑ ↗
← N 51.664038°
E108.539429°		 ← 189.45 m → N 51.664038°
E108.542176°		 →
↑
189.41 m
↓
↑
189.41 m
↓
N 51.662334°
E108.539429°		 ← 189.45 m →
35 884 m²		 N 51.662334°
E108.542176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801502227783203 y=0.331829071044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801502227783203 × 217)
    floor (0.801502227783203 × 131072)
    floor (105054.5)     		tx = 105054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331829071044922 × 217)
    floor (0.331829071044922 × 131072)
    floor (43493.5)     		ty = 43493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105054 / 43493 ti = "17/105054/43493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105054/43493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105054 ÷ 217
    105054 ÷ 131072     		x = 0.801498413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43493 ÷ 217
    43493 ÷ 131072     		y = 0.331825256347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801498413085938 × 2 - 1) × π
    0.602996826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89437040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331825256347656 × 2 - 1) × π
    0.336349487304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.0566730783249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89437040} λ = 1.89437040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0566730783249))-π/2
    2×atan(2.87678421512724)-π/2
    2×1.23625194577518-π/2
    2.47250389155037-1.57079632675     		φ = 0.90170756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89437040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.539429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90170756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.664038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105054 KachelY 43493 1.89437040 0.90170756 108.539429 51.664038
    Oben rechts KachelX + 1 105055 KachelY 43493 1.89441834 0.90170756 108.542176 51.664038
    Unten links KachelX 105054 KachelY + 1 43494 1.89437040 0.90167783 108.539429 51.662334
    Unten rechts KachelX + 1 105055 KachelY + 1 43494 1.89441834 0.90167783 108.542176 51.662334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90170756-0.90167783) × R
    2.97299999999501e-05 × 6371000     		dl = 189.409829999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90170756-0.90167783) × R
    2.97299999999501e-05 × 6371000     		dr = 189.409829999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89437040-1.89441834) × cos(0.90170756) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.620271484989992 × 6371000     		do = 189.44687730472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89437040-1.89441834) × cos(0.90167783) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.620294804547425 × 6371000     		du = 189.453999697806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90170756)-sin(0.90167783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620271484989992-0.620294804547425)×R²
    abs(1.89441834-1.89437040)×2.3319557433954e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.3319557433954e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.3319557433954e-05×40589641000000     		ar = 35883.7753524848m²