Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105039 / 97809
↖ ↑ ↗
← S 65.965496°
E108.498230°		 ← 124.37 m → S 65.965496°
E108.500976°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.966615°
E108.498230°		 ← 124.36 m →
15 467 m²		 S 65.966615°
E108.500976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801387786865234 y=0.746227264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801387786865234 × 217)
    floor (0.801387786865234 × 131072)
    floor (105039.5)     		tx = 105039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746227264404297 × 217)
    floor (0.746227264404297 × 131072)
    floor (97809.5)     		ty = 97809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105039 / 97809 ti = "17/105039/97809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105039/97809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105039 ÷ 217
    105039 ÷ 131072     		x = 0.801383972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97809 ÷ 217
    97809 ÷ 131072     		y = 0.746223449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801383972167969 × 2 - 1) × π
    0.602767944335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.89365135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746223449707031 × 2 - 1) × π
    -0.492446899414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54706756143807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89365135} λ = 1.89365135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54706756143807))-π/2
    2×atan(0.212871291443522)-π/2
    2×0.209740615821869-π/2
    0.419481231643737-1.57079632675     		φ = -1.15131510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89365135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.498230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15131510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.965496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105039 KachelY 97809 1.89365135 -1.15131510 108.498230 -65.965496
    Oben rechts KachelX + 1 105040 KachelY 97809 1.89369928 -1.15131510 108.500976 -65.965496
    Unten links KachelX 105039 KachelY + 1 97810 1.89365135 -1.15133462 108.498230 -65.966615
    Unten rechts KachelX + 1 105040 KachelY + 1 97810 1.89369928 -1.15133462 108.500976 -65.966615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15131510--1.15133462) × R
    1.95200000001616e-05 × 6371000     		dl = 124.36192000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15131510--1.15133462) × R
    1.95200000001616e-05 × 6371000     		dr = 124.36192000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89365135-1.89369928) × cos(-1.15131510) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407286712135312 × 6371000     		do = 124.369897209741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89365135-1.89369928) × cos(-1.15133462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407268884434835 × 6371000     		du = 124.364453306933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15131510)-sin(-1.15133462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407286712135312-0.407268884434835)×R²
    abs(1.89369928-1.89365135)×1.78277004767025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78277004767025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78277004767025e-05×40589641000000     		ar = 15466.5407005896m²