Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105023 / 97345
↖ ↑ ↗
← S 65.441143°
E108.454285°		 ← 126.92 m → S 65.441143°
E108.457031°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.442285°
E108.454285°		 ← 126.91 m →
16 107 m²		 S 65.442285°
E108.457031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801265716552734 y=0.742687225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801265716552734 × 217)
    floor (0.801265716552734 × 131072)
    floor (105023.5)     		tx = 105023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742687225341797 × 217)
    floor (0.742687225341797 × 131072)
    floor (97345.5)     		ty = 97345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105023 / 97345 ti = "17/105023/97345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105023/97345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105023 ÷ 217
    105023 ÷ 131072     		x = 0.801261901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97345 ÷ 217
    97345 ÷ 131072     		y = 0.742683410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801261901855469 × 2 - 1) × π
    0.602523803710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.89288436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742683410644531 × 2 - 1) × π
    -0.485366821289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.52482484001437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89288436} λ = 1.89288436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52482484001437))-π/2
    2×atan(0.21765917870504)-π/2
    2×0.214316455500068-π/2
    0.428632911000136-1.57079632675     		φ = -1.14216342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89288436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.454285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14216342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.441143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105023 KachelY 97345 1.89288436 -1.14216342 108.454285 -65.441143
    Oben rechts KachelX + 1 105024 KachelY 97345 1.89293229 -1.14216342 108.457031 -65.441143
    Unten links KachelX 105023 KachelY + 1 97346 1.89288436 -1.14218334 108.454285 -65.442285
    Unten rechts KachelX + 1 105024 KachelY + 1 97346 1.89293229 -1.14218334 108.457031 -65.442285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14216342--1.14218334) × R
    1.99200000001731e-05 × 6371000     		dl = 126.910320001103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14216342--1.14218334) × R
    1.99200000001731e-05 × 6371000     		dr = 126.910320001103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89288436-1.89293229) × cos(-1.14216342) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415627772362233 × 6371000     		do = 126.916940292987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89288436-1.89293229) × cos(-1.14218334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415609654346529 × 6371000     		du = 126.911407738932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14216342)-sin(-1.14218334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415627772362233-0.415609654346529)×R²
    abs(1.89293229-1.89288436)×1.811801570345e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.811801570345e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.811801570345e-05×40589641000000     		ar = 16106.7184376732m²