Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105023 / 97343
↖ ↑ ↗
← S 65.438860°
E108.454285°		 ← 126.93 m → S 65.438860°
E108.457031°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.440002°
E108.454285°		 ← 126.92 m →
16 108 m²		 S 65.440002°
E108.457031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801265716552734 y=0.742671966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801265716552734 × 217)
    floor (0.801265716552734 × 131072)
    floor (105023.5)     		tx = 105023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742671966552734 × 217)
    floor (0.742671966552734 × 131072)
    floor (97343.5)     		ty = 97343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105023 / 97343 ti = "17/105023/97343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105023/97343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105023 ÷ 217
    105023 ÷ 131072     		x = 0.801261901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97343 ÷ 217
    97343 ÷ 131072     		y = 0.742668151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801261901855469 × 2 - 1) × π
    0.602523803710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.89288436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742668151855469 × 2 - 1) × π
    -0.485336303710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.52472896621513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89288436} λ = 1.89288436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52472896621513))-π/2
    2×atan(0.217680047517812)-π/2
    2×0.214336380275762-π/2
    0.428672760551525-1.57079632675     		φ = -1.14212357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89288436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.454285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14212357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.438860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105023 KachelY 97343 1.89288436 -1.14212357 108.454285 -65.438860
    Oben rechts KachelX + 1 105024 KachelY 97343 1.89293229 -1.14212357 108.457031 -65.438860
    Unten links KachelX 105023 KachelY + 1 97344 1.89288436 -1.14214349 108.454285 -65.440002
    Unten rechts KachelX + 1 105024 KachelY + 1 97344 1.89293229 -1.14214349 108.457031 -65.440002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14212357--1.14214349) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14212357--1.14214349) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89288436-1.89293229) × cos(-1.14212357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415664016994043 × 6371000     		do = 126.928008027333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89288436-1.89293229) × cos(-1.14214349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415645899308277 × 6371000     		du = 126.922475574029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14212357)-sin(-1.14214349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415664016994043-0.415645899308277)×R²
    abs(1.89293229-1.89288436)×1.81176857657617e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81176857657617e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81176857657617e-05×40589641000000     		ar = 16108.1230535574m²