Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105002 / 99870
↖ ↑ ↗
← S 68.169512°
E108.396606°		 ← 113.58 m → S 68.169512°
E108.399353°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 68.170534°
E108.396606°		 ← 113.57 m →
12 901 m²		 S 68.170534°
E108.399353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801105499267578 y=0.761951446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801105499267578 × 217)
    floor (0.801105499267578 × 131072)
    floor (105002.5)     		tx = 105002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761951446533203 × 217)
    floor (0.761951446533203 × 131072)
    floor (99870.5)     		ty = 99870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105002 / 99870 ti = "17/105002/99870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105002/99870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105002 ÷ 217
    105002 ÷ 131072     		x = 0.801101684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99870 ÷ 217
    99870 ÷ 131072     		y = 0.761947631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801101684570312 × 2 - 1) × π
    0.602203369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89187768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761947631835938 × 2 - 1) × π
    -0.523895263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64586551155501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89187768} λ = 1.89187768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64586551155501))-π/2
    2×atan(0.192845580463394)-π/2
    2×0.190506941404546-π/2
    0.381013882809091-1.57079632675     		φ = -1.18978244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89187768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.396606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18978244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.169512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105002 KachelY 99870 1.89187768 -1.18978244 108.396606 -68.169512
    Oben rechts KachelX + 1 105003 KachelY 99870 1.89192562 -1.18978244 108.399353 -68.169512
    Unten links KachelX 105002 KachelY + 1 99871 1.89187768 -1.18980027 108.396606 -68.170534
    Unten rechts KachelX + 1 105003 KachelY + 1 99871 1.89192562 -1.18980027 108.399353 -68.170534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18978244--1.18980027) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18978244--1.18980027) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89187768-1.89192562) × cos(-1.18978244) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.371861839415686 × 6371000     		do = 113.576177481749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89187768-1.89192562) × cos(-1.18980027) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.371845287979987 × 6371000     		du = 113.571122247252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18978244)-sin(-1.18980027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371861839415686-0.371845287979987)×R²
    abs(1.89192562-1.89187768)×1.65514356986751e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.65514356986751e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.65514356986751e-05×40589641000000     		ar = 12901.390806525m²