Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10500 / 16644
↖ ↑ ↗
← N 65.937515°
W122.321777°		 ← 249.04 m → N 65.937515°
W122.316284°		 →
↑
249.11 m
↓
↑
249.11 m
↓
N 65.935274°
W122.321777°		 ← 249.06 m →
62 040 m²		 N 65.935274°
W122.316284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160224914550781 y=0.253974914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160224914550781 × 216)
    floor (0.160224914550781 × 65536)
    floor (10500.5)     		tx = 10500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253974914550781 × 216)
    floor (0.253974914550781 × 65536)
    floor (16644.5)     		ty = 16644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10500 / 16644 ti = "16/10500/16644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10500/16644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10500 ÷ 216
    10500 ÷ 65536     		x = 0.16021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16644 ÷ 216
    16644 ÷ 65536     		y = 0.25396728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.6795654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13491776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25396728515625 × 2 - 1) × π
    0.4920654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54586913894757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13491776} λ = -2.13491776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54586913894757))-π/2
    2×atan(4.69204789691402)-π/2
    2×1.36081152659419-π/2
    2.72162305318839-1.57079632675     		φ = 1.15082673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13491776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.321777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15082673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.937515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10500 KachelY 16644 -2.13491776 1.15082673 -122.321777 65.937515
    Oben rechts KachelX + 1 10501 KachelY 16644 -2.13482189 1.15082673 -122.316284 65.937515
    Unten links KachelX 10500 KachelY + 1 16645 -2.13491776 1.15078763 -122.321777 65.935274
    Unten rechts KachelX + 1 10501 KachelY + 1 16645 -2.13482189 1.15078763 -122.316284 65.935274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15082673-1.15078763) × R
    3.90999999999586e-05 × 6371000     		dl = 249.106099999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15082673-1.15078763) × R
    3.90999999999586e-05 × 6371000     		dr = 249.106099999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13491776--2.13482189) × cos(1.15082673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407732692040787 × 6371000     		do = 249.038141727684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13491776--2.13482189) × cos(1.15078763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407768393991386 × 6371000     		du = 249.059948042475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15082673)-sin(1.15078763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407732692040787-0.407768393991386)×R²
    abs(-2.13482189--2.13491776)×3.5701950599154e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5701950599154e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5701950599154e-05×40589641000000     		ar = 62039.6362880257m²