Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1050 / 3102
↖ ↑ ↗
← N 39.977120°
W133.857422°		 ← 3 744.53 m → N 39.977120°
W133.813477°		 →
↑
3 745.45 m
↓
↑
3 745.45 m
↓
N 39.943436°
W133.857422°		 ← 3 746.37 m →
14 028 376 m²		 N 39.943436°
W133.813477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12823486328125 y=0.37872314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12823486328125 × 213)
    floor (0.12823486328125 × 8192)
    floor (1050.5)     		tx = 1050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37872314453125 × 213)
    floor (0.37872314453125 × 8192)
    floor (3102.5)     		ty = 3102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1050 / 3102 ti = "13/1050/3102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1050/3102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1050 ÷ 213
    1050 ÷ 8192     		x = 0.128173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3102 ÷ 213
    3102 ÷ 8192     		y = 0.378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.74365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33625274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378662109375 × 2 - 1) × π
    0.24267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.762388451557373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33625274} λ = -2.33625274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762388451557373))-π/2
    2×atan(2.14338949363755)-π/2
    2×1.13426434898058-π/2
    2.26852869796117-1.57079632675     		φ = 0.69773237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33625274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69773237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.977120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1050 KachelY 3102 -2.33625274 0.69773237 -133.857422 39.977120
    Oben rechts KachelX + 1 1051 KachelY 3102 -2.33548575 0.69773237 -133.813477 39.977120
    Unten links KachelX 1050 KachelY + 1 3103 -2.33625274 0.69714448 -133.857422 39.943436
    Unten rechts KachelX + 1 1051 KachelY + 1 3103 -2.33548575 0.69714448 -133.813477 39.943436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69773237-0.69714448) × R
    0.000587890000000035 × 6371000     		dl = 3745.44719000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69773237-0.69714448) × R
    0.000587890000000035 × 6371000     		dr = 3745.44719000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33625274--2.33548575) × cos(0.69773237) × R
    0.000766989999999801 × 0.766301066922434 × 6371000     		do = 3744.52502163534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33625274--2.33548575) × cos(0.69714448) × R
    0.000766989999999801 × 0.766678643017404 × 6371000     		du = 3746.37004468988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69773237)-sin(0.69714448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766301066922434-0.766678643017404)×R²
    abs(-2.33548575--2.33625274)×0.000377576094970022×R²
    0.000766989999999801×0.000377576094970022×6371000²
    0.000766989999999801×0.000377576094970022×40589641000000     		ar = 14028376.3424109m²