Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104992 / 99866
↖ ↑ ↗
← S 68.165427°
E108.369141°		 ← 113.60 m → S 68.165427°
E108.371887°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 68.166448°
E108.369141°		 ← 113.59 m →
12 904 m²		 S 68.166448°
E108.371887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801029205322266 y=0.761920928955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801029205322266 × 217)
    floor (0.801029205322266 × 131072)
    floor (104992.5)     		tx = 104992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761920928955078 × 217)
    floor (0.761920928955078 × 131072)
    floor (99866.5)     		ty = 99866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104992 / 99866 ti = "17/104992/99866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104992/99866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104992 ÷ 217
    104992 ÷ 131072     		x = 0.801025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99866 ÷ 217
    99866 ÷ 131072     		y = 0.761917114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801025390625 × 2 - 1) × π
    0.60205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89139831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761917114257812 × 2 - 1) × π
    -0.523834228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64567376395653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89139831} λ = 1.89139831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64567376395653))-π/2
    2×atan(0.192882561685743)-π/2
    2×0.190542596384644-π/2
    0.381085192769287-1.57079632675     		φ = -1.18971113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89139831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.369141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18971113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.165427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104992 KachelY 99866 1.89139831 -1.18971113 108.369141 -68.165427
    Oben rechts KachelX + 1 104993 KachelY 99866 1.89144625 -1.18971113 108.371887 -68.165427
    Unten links KachelX 104992 KachelY + 1 99867 1.89139831 -1.18972896 108.369141 -68.166448
    Unten rechts KachelX + 1 104993 KachelY + 1 99867 1.89144625 -1.18972896 108.371887 -68.166448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18971113--1.18972896) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18971113--1.18972896) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89139831-1.89144625) × cos(-1.18971113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371928034693631 × 6371000     		do = 113.596395222973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89139831-1.89144625) × cos(-1.18972896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37191148373077 × 6371000     		du = 113.591340132894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18971113)-sin(-1.18972896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371928034693631-0.37191148373077)×R²
    abs(1.89144625-1.89139831)×1.65509628606286e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65509628606286e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65509628606286e-05×40589641000000     		ar = 12903.687447794m²