Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104991 / 99869
↖ ↑ ↗
← S 68.168491°
E108.366394°		 ← 113.58 m → S 68.168491°
E108.369141°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 68.169512°
E108.366394°		 ← 113.58 m →
12 895 m²		 S 68.169512°
E108.369141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801021575927734 y=0.761943817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801021575927734 × 217)
    floor (0.801021575927734 × 131072)
    floor (104991.5)     		tx = 104991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761943817138672 × 217)
    floor (0.761943817138672 × 131072)
    floor (99869.5)     		ty = 99869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104991 / 99869 ti = "17/104991/99869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104991/99869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104991 ÷ 217
    104991 ÷ 131072     		x = 0.801017761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99869 ÷ 217
    99869 ÷ 131072     		y = 0.761940002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801017761230469 × 2 - 1) × π
    0.602035522460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.89135037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761940002441406 × 2 - 1) × π
    -0.523880004882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.64581757465539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89135037} λ = 1.89135037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64581757465539))-π/2
    2×atan(0.192854825104205)-π/2
    2×0.190515854554604-π/2
    0.381031709109207-1.57079632675     		φ = -1.18976462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89135037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.366394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18976462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.168491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104991 KachelY 99869 1.89135037 -1.18976462 108.366394 -68.168491
    Oben rechts KachelX + 1 104992 KachelY 99869 1.89139831 -1.18976462 108.369141 -68.168491
    Unten links KachelX 104991 KachelY + 1 99870 1.89135037 -1.18978244 108.366394 -68.169512
    Unten rechts KachelX + 1 104992 KachelY + 1 99870 1.89139831 -1.18978244 108.369141 -68.169512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18976462--1.18978244) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dl = 113.531220000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18976462--1.18978244) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dr = 113.531220000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89135037-1.89139831) × cos(-1.18976462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371878381450352 × 6371000     		do = 113.581229844402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89135037-1.89139831) × cos(-1.18978244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371861839415686 × 6371000     		du = 113.576177481223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18976462)-sin(-1.18978244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371878381450352-0.371861839415686)×R²
    abs(1.89139831-1.89135037)×1.65420346659451e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65420346659451e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65420346659451e-05×40589641000000     		ar = 12894.7287932313m²