Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104990 / 99886
↖ ↑ ↗
← S 68.185849°
E108.363648°		 ← 113.47 m → S 68.185849°
E108.366394°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.186869°
E108.363648°		 ← 113.47 m →
12 875 m²		 S 68.186869°
E108.366394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801013946533203 y=0.762073516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801013946533203 × 217)
    floor (0.801013946533203 × 131072)
    floor (104990.5)     		tx = 104990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762073516845703 × 217)
    floor (0.762073516845703 × 131072)
    floor (99886.5)     		ty = 99886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104990 / 99886 ti = "17/104990/99886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104990/99886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104990 ÷ 217
    104990 ÷ 131072     		x = 0.801010131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99886 ÷ 217
    99886 ÷ 131072     		y = 0.762069702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801010131835938 × 2 - 1) × π
    0.602020263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89130244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762069702148438 × 2 - 1) × π
    -0.524139404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64663250194893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89130244} λ = 1.89130244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64663250194893))-π/2
    2×atan(0.192697726464215)-π/2
    2×0.190364384933822-π/2
    0.380728769867644-1.57079632675     		φ = -1.19006756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89130244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.363648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19006756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.185849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104990 KachelY 99886 1.89130244 -1.19006756 108.363648 -68.185849
    Oben rechts KachelX + 1 104991 KachelY 99886 1.89135037 -1.19006756 108.366394 -68.185849
    Unten links KachelX 104990 KachelY + 1 99887 1.89130244 -1.19008537 108.363648 -68.186869
    Unten rechts KachelX + 1 104991 KachelY + 1 99887 1.89135037 -1.19008537 108.366394 -68.186869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19006756--1.19008537) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19006756--1.19008537) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89130244-1.89135037) × cos(-1.19006756) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37159715080496 × 6371000     		do = 113.471660312088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89130244-1.89135037) × cos(-1.19008537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37158061604756 × 6371000     		du = 113.466611225003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19006756)-sin(-1.19008537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37159715080496-0.37158061604756)×R²
    abs(1.89135037-1.89130244)×1.65347574001551e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65347574001551e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65347574001551e-05×40589641000000     		ar = 12875.0602979468m²