Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104989 / 99876
↖ ↑ ↗
← S 68.175640°
E108.360901°		 ← 113.55 m → S 68.175640°
E108.363648°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 68.176661°
E108.360901°		 ← 113.54 m →
12 891 m²		 S 68.176661°
E108.363648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801006317138672 y=0.761997222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801006317138672 × 217)
    floor (0.801006317138672 × 131072)
    floor (104989.5)     		tx = 104989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761997222900391 × 217)
    floor (0.761997222900391 × 131072)
    floor (99876.5)     		ty = 99876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104989 / 99876 ti = "17/104989/99876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104989/99876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104989 ÷ 217
    104989 ÷ 131072     		x = 0.801002502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99876 ÷ 217
    99876 ÷ 131072     		y = 0.761993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801002502441406 × 2 - 1) × π
    0.602005004882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.89125450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.52398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64615313295273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89125450} λ = 1.89125450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64615313295273))-π/2
    2×atan(0.192790121923911)-π/2
    2×0.190453470832693-π/2
    0.380906941665386-1.57079632675     		φ = -1.18988939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89125450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.360901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18988939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.175640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104989 KachelY 99876 1.89125450 -1.18988939 108.360901 -68.175640
    Oben rechts KachelX + 1 104990 KachelY 99876 1.89130244 -1.18988939 108.363648 -68.175640
    Unten links KachelX 104989 KachelY + 1 99877 1.89125450 -1.18990721 108.360901 -68.176661
    Unten rechts KachelX + 1 104990 KachelY + 1 99877 1.89130244 -1.18990721 108.363648 -68.176661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18988939--1.18990721) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dl = 113.531220000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18988939--1.18990721) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dr = 113.531220000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89125450-1.89130244) × cos(-1.18988939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371762556878241 × 6371000     		do = 113.545854038754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89125450-1.89130244) × cos(-1.18990721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371746014016888 × 6371000     		du = 113.540801423084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18988939)-sin(-1.18990721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371762556878241-0.371746014016888)×R²
    abs(1.89130244-1.89125450)×1.65428613536633e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65428613536633e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65428613536633e-05×40589641000000     		ar = 12890.7125206195m²