Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104988 / 99877
↖ ↑ ↗
← S 68.176661°
E108.358154°		 ← 113.54 m → S 68.176661°
E108.360901°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 68.177682°
E108.358154°		 ← 113.54 m →
12 890 m²		 S 68.177682°
E108.360901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800998687744141 y=0.762004852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800998687744141 × 217)
    floor (0.800998687744141 × 131072)
    floor (104988.5)     		tx = 104988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762004852294922 × 217)
    floor (0.762004852294922 × 131072)
    floor (99877.5)     		ty = 99877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104988 / 99877 ti = "17/104988/99877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104988/99877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104988 ÷ 217
    104988 ÷ 131072     		x = 0.800994873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99877 ÷ 217
    99877 ÷ 131072     		y = 0.762001037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800994873046875 × 2 - 1) × π
    0.60198974609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89120656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762001037597656 × 2 - 1) × π
    -0.524002075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.64620106985235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89120656} λ = 1.89120656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64620106985235))-π/2
    2×atan(0.192780880384696)-π/2
    2×0.190444560458662-π/2
    0.380889120917323-1.57079632675     		φ = -1.18990721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89120656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.358154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18990721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.176661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104988 KachelY 99877 1.89120656 -1.18990721 108.358154 -68.176661
    Oben rechts KachelX + 1 104989 KachelY 99877 1.89125450 -1.18990721 108.360901 -68.176661
    Unten links KachelX 104988 KachelY + 1 99878 1.89120656 -1.18992503 108.358154 -68.177682
    Unten rechts KachelX + 1 104989 KachelY + 1 99878 1.89125450 -1.18992503 108.360901 -68.177682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18990721--1.18992503) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dl = 113.53121999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18990721--1.18992503) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dr = 113.53121999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89120656-1.89125450) × cos(-1.18990721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371746014016888 × 6371000     		do = 113.540801423084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89120656-1.89125450) × cos(-1.18992503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371729471037485 × 6371000     		du = 113.535748771358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18990721)-sin(-1.18992503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371746014016888-0.371729471037485)×R²
    abs(1.89125450-1.89120656)×1.65429794023453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65429794023453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65429794023453e-05×40589641000000     		ar = 12890.1388887081m²