Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104986 / 99871
↖ ↑ ↗
← S 68.170534°
E108.352661°		 ← 113.57 m → S 68.170534°
E108.355408°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 68.171555°
E108.352661°		 ← 113.57 m →
12 894 m²		 S 68.171555°
E108.355408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800983428955078 y=0.761959075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800983428955078 × 217)
    floor (0.800983428955078 × 131072)
    floor (104986.5)     		tx = 104986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761959075927734 × 217)
    floor (0.761959075927734 × 131072)
    floor (99871.5)     		ty = 99871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104986 / 99871 ti = "17/104986/99871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104986/99871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104986 ÷ 217
    104986 ÷ 131072     		x = 0.800979614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99871 ÷ 217
    99871 ÷ 131072     		y = 0.761955261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800979614257812 × 2 - 1) × π
    0.601959228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89111069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761955261230469 × 2 - 1) × π
    -0.523910522460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.64591344845463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89111069} λ = 1.89111069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64591344845463))-π/2
    2×atan(0.192836336265732)-π/2
    2×0.190498028651107-π/2
    0.380996057302215-1.57079632675     		φ = -1.18980027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89111069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.352661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18980027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.170534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104986 KachelY 99871 1.89111069 -1.18980027 108.352661 -68.170534
    Oben rechts KachelX + 1 104987 KachelY 99871 1.89115863 -1.18980027 108.355408 -68.170534
    Unten links KachelX 104986 KachelY + 1 99872 1.89111069 -1.18981809 108.352661 -68.171555
    Unten rechts KachelX + 1 104987 KachelY + 1 99872 1.89115863 -1.18981809 108.355408 -68.171555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18980027--1.18981809) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dl = 113.53121999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18980027--1.18981809) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dr = 113.53121999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89111069-1.89115863) × cos(-1.18980027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371845287979987 × 6371000     		do = 113.571122246726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89111069-1.89115863) × cos(-1.18981809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371828745709089 × 6371000     		du = 113.566069811396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18980027)-sin(-1.18981809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371845287979987-0.371828745709089)×R²
    abs(1.89115863-1.89111069)×1.6542270897979e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6542270897979e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6542270897979e-05×40589641000000     		ar = 12893.5812610935m²