Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104986 / 99808
↖ ↑ ↗
← S 68.106101°
E108.352661°		 ← 113.89 m → S 68.106101°
E108.355408°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
S 68.107126°
E108.352661°		 ← 113.88 m →
12 973 m²		 S 68.107126°
E108.355408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800983428955078 y=0.761478424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800983428955078 × 217)
    floor (0.800983428955078 × 131072)
    floor (104986.5)     		tx = 104986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761478424072266 × 217)
    floor (0.761478424072266 × 131072)
    floor (99808.5)     		ty = 99808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104986 / 99808 ti = "17/104986/99808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104986/99808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104986 ÷ 217
    104986 ÷ 131072     		x = 0.800979614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99808 ÷ 217
    99808 ÷ 131072     		y = 0.761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800979614257812 × 2 - 1) × π
    0.601959228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89111069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.52294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64289342377856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89111069} λ = 1.89111069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64289342377856))-π/2
    2×atan(0.193419587032253)-π/2
    2×0.191060307304475-π/2
    0.382120614608949-1.57079632675     		φ = -1.18867571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89111069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.352661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18867571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.106101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104986 KachelY 99808 1.89111069 -1.18867571 108.352661 -68.106101
    Oben rechts KachelX + 1 104987 KachelY 99808 1.89115863 -1.18867571 108.355408 -68.106101
    Unten links KachelX 104986 KachelY + 1 99809 1.89111069 -1.18869359 108.352661 -68.107126
    Unten rechts KachelX + 1 104987 KachelY + 1 99809 1.89115863 -1.18869359 108.355408 -68.107126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18867571--1.18869359) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dl = 113.913479999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18867571--1.18869359) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dr = 113.913479999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89111069-1.89115863) × cos(-1.18867571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372888975742732 × 6371000     		do = 113.889891353991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89111069-1.89115863) × cos(-1.18869359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372872385260822 × 6371000     		du = 113.884824193777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18867571)-sin(-1.18869359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372888975742732-0.372872385260822)×R²
    abs(1.89115863-1.89111069)×1.65904819099949e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65904819099949e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65904819099949e-05×40589641000000     		ar = 12973.3052522637m²