Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104981 / 99888
↖ ↑ ↗
← S 68.187889°
E108.338928°		 ← 113.46 m → S 68.187889°
E108.341675°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.188910°
E108.338928°		 ← 113.46 m →
12 874 m²		 S 68.188910°
E108.341675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800945281982422 y=0.762088775634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800945281982422 × 217)
    floor (0.800945281982422 × 131072)
    floor (104981.5)     		tx = 104981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762088775634766 × 217)
    floor (0.762088775634766 × 131072)
    floor (99888.5)     		ty = 99888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104981 / 99888 ti = "17/104981/99888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104981/99888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104981 ÷ 217
    104981 ÷ 131072     		x = 0.800941467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99888 ÷ 217
    99888 ÷ 131072     		y = 0.7620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800941467285156 × 2 - 1) × π
    0.601882934570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.89087101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.524169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64672837574817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89087101} λ = 1.89087101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64672837574817))-π/2
    2×atan(0.192679252686664)-π/2
    2×0.190346572511113-π/2
    0.380693145022227-1.57079632675     		φ = -1.19010318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89087101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.338928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19010318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.187889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104981 KachelY 99888 1.89087101 -1.19010318 108.338928 -68.187889
    Oben rechts KachelX + 1 104982 KachelY 99888 1.89091894 -1.19010318 108.341675 -68.187889
    Unten links KachelX 104981 KachelY + 1 99889 1.89087101 -1.19012099 108.338928 -68.188910
    Unten rechts KachelX + 1 104982 KachelY + 1 99889 1.89091894 -1.19012099 108.341675 -68.188910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19010318--1.19012099) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19010318--1.19012099) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89087101-1.89091894) × cos(-1.19010318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371564081172296 × 6371000     		do = 113.461562101926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89087101-1.89091894) × cos(-1.19012099) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371547546179173 × 6371000     		du = 113.45651294286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19010318)-sin(-1.19012099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371564081172296-0.371547546179173)×R²
    abs(1.89091894-1.89087101)×1.65349931227632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65349931227632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65349931227632e-05×40589641000000     		ar = 12873.9144749867m²