Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104980 / 99860
↖ ↑ ↗
← S 68.159297°
E108.336182°		 ← 113.63 m → S 68.159297°
E108.338928°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 68.160319°
E108.336182°		 ← 113.62 m →
12 907 m²		 S 68.160319°
E108.338928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800937652587891 y=0.761875152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800937652587891 × 217)
    floor (0.800937652587891 × 131072)
    floor (104980.5)     		tx = 104980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761875152587891 × 217)
    floor (0.761875152587891 × 131072)
    floor (99860.5)     		ty = 99860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104980 / 99860 ti = "17/104980/99860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104980/99860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104980 ÷ 217
    104980 ÷ 131072     		x = 0.800933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99860 ÷ 217
    99860 ÷ 131072     		y = 0.761871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800933837890625 × 2 - 1) × π
    0.60186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89082307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761871337890625 × 2 - 1) × π
    -0.52374267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64538614255881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89082307} λ = 1.89082307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64538614255881))-π/2
    2×atan(0.192938046816703)-π/2
    2×0.190596090755456-π/2
    0.381192181510912-1.57079632675     		φ = -1.18960415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89082307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18960415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.159297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104980 KachelY 99860 1.89082307 -1.18960415 108.336182 -68.159297
    Oben rechts KachelX + 1 104981 KachelY 99860 1.89087101 -1.18960415 108.338928 -68.159297
    Unten links KachelX 104980 KachelY + 1 99861 1.89082307 -1.18962198 108.336182 -68.160319
    Unten rechts KachelX + 1 104981 KachelY + 1 99861 1.89087101 -1.18962198 108.338928 -68.160319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18960415--1.18962198) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18960415--1.18962198) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89082307-1.89087101) × cos(-1.18960415) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372027337987586 × 6371000     		do = 113.626725005014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89082307-1.89087101) × cos(-1.18962198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37201078773424 × 6371000     		du = 113.621670131639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18960415)-sin(-1.18962198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372027337987586-0.37201078773424)×R²
    abs(1.89087101-1.89082307)×1.6550253346348e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6550253346348e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6550253346348e-05×40589641000000     		ar = 12907.1327694848m²