Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104975 / 99885
↖ ↑ ↗
← S 68.184828°
E108.322448°		 ← 113.50 m → S 68.184828°
E108.325195°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 68.185849°
E108.322448°		 ← 113.50 m →
12 886 m²		 S 68.185849°
E108.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800899505615234 y=0.762065887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800899505615234 × 217)
    floor (0.800899505615234 × 131072)
    floor (104975.5)     		tx = 104975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762065887451172 × 217)
    floor (0.762065887451172 × 131072)
    floor (99885.5)     		ty = 99885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104975 / 99885 ti = "17/104975/99885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104975/99885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104975 ÷ 217
    104975 ÷ 131072     		x = 0.800895690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99885 ÷ 217
    99885 ÷ 131072     		y = 0.762062072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800895690917969 × 2 - 1) × π
    0.601791381835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.89058338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762062072753906 × 2 - 1) × π
    -0.524124145507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.64658456504931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89058338} λ = 1.89058338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64658456504931))-π/2
    2×atan(0.192706964017194)-π/2
    2×0.190373291739743-π/2
    0.380746583479485-1.57079632675     		φ = -1.19004974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89058338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.322448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19004974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.184828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104975 KachelY 99885 1.89058338 -1.19004974 108.322448 -68.184828
    Oben rechts KachelX + 1 104976 KachelY 99885 1.89063132 -1.19004974 108.325195 -68.184828
    Unten links KachelX 104975 KachelY + 1 99886 1.89058338 -1.19006756 108.322448 -68.185849
    Unten rechts KachelX + 1 104976 KachelY + 1 99886 1.89063132 -1.19006756 108.325195 -68.185849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19004974--1.19006756) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dl = 113.53121999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19004974--1.19006756) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dr = 113.53121999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89058338-1.89063132) × cos(-1.19004974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371613694728365 × 6371000     		do = 113.500387706471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89058338-1.89063132) × cos(-1.19006756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37159715080496 × 6371000     		du = 113.495334766422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19004974)-sin(-1.19006756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371613694728365-0.37159715080496)×R²
    abs(1.89063132-1.89058338)×1.65439234052212e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65439234052212e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65439234052212e-05×40589641000000     		ar = 12885.5506537009m²