Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104973 / 99795
↖ ↑ ↗
← S 68.092784°
E108.316956°		 ← 113.96 m → S 68.092784°
E108.319702°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
S 68.093808°
E108.316956°		 ← 113.95 m →
12 981 m²		 S 68.093808°
E108.319702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800884246826172 y=0.761379241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800884246826172 × 217)
    floor (0.800884246826172 × 131072)
    floor (104973.5)     		tx = 104973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761379241943359 × 217)
    floor (0.761379241943359 × 131072)
    floor (99795.5)     		ty = 99795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104973 / 99795 ti = "17/104973/99795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104973/99795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104973 ÷ 217
    104973 ÷ 131072     		x = 0.800880432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99795 ÷ 217
    99795 ÷ 131072     		y = 0.761375427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800880432128906 × 2 - 1) × π
    0.601760864257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.89048751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761375427246094 × 2 - 1) × π
    -0.522750854492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.6422702440835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89048751} λ = 1.89048751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6422702440835))-π/2
    2×atan(0.193540159756853)-π/2
    2×0.191176529320385-π/2
    0.38235305864077-1.57079632675     		φ = -1.18844327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89048751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.316956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18844327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.092784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104973 KachelY 99795 1.89048751 -1.18844327 108.316956 -68.092784
    Oben rechts KachelX + 1 104974 KachelY 99795 1.89053545 -1.18844327 108.319702 -68.092784
    Unten links KachelX 104973 KachelY + 1 99796 1.89048751 -1.18846115 108.316956 -68.093808
    Unten rechts KachelX + 1 104974 KachelY + 1 99796 1.89053545 -1.18846115 108.319702 -68.093808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18844327--1.18846115) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dl = 113.913479999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18844327--1.18846115) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dr = 113.913479999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89048751-1.89053545) × cos(-1.18844327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373104641157475 × 6371000     		do = 113.955761122882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89048751-1.89053545) × cos(-1.18846115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373088052225716 × 6371000     		du = 113.950694436123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18844327)-sin(-1.18846115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373104641157475-0.373088052225716)×R²
    abs(1.89053545-1.89048751)×1.6588931759598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6588931759598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6588931759598e-05×40589641000000     		ar = 12980.8087337461m²