Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104970 / 99882
↖ ↑ ↗
← S 68.181766°
E108.308716°		 ← 113.52 m → S 68.181766°
E108.311463°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.182786°
E108.308716°		 ← 113.51 m →
12 880 m²		 S 68.182786°
E108.311463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800861358642578 y=0.762042999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800861358642578 × 217)
    floor (0.800861358642578 × 131072)
    floor (104970.5)     		tx = 104970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762042999267578 × 217)
    floor (0.762042999267578 × 131072)
    floor (99882.5)     		ty = 99882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104970 / 99882 ti = "17/104970/99882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104970/99882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104970 ÷ 217
    104970 ÷ 131072     		x = 0.800857543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99882 ÷ 217
    99882 ÷ 131072     		y = 0.762039184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800857543945312 × 2 - 1) × π
    0.601715087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89034370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762039184570312 × 2 - 1) × π
    -0.524078369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64644075435045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89034370} λ = 1.89034370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64644075435045))-π/2
    2×atan(0.192734679333196)-π/2
    2×0.190400014535949-π/2
    0.380800029071898-1.57079632675     		φ = -1.18999630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89034370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.308716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18999630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.181766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104970 KachelY 99882 1.89034370 -1.18999630 108.308716 -68.181766
    Oben rechts KachelX + 1 104971 KachelY 99882 1.89039164 -1.18999630 108.311463 -68.181766
    Unten links KachelX 104970 KachelY + 1 99883 1.89034370 -1.19001411 108.308716 -68.182786
    Unten rechts KachelX + 1 104971 KachelY + 1 99883 1.89039164 -1.19001411 108.311463 -68.182786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18999630--1.19001411) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18999630--1.19001411) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89034370-1.89039164) × cos(-1.18999630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371663307223168 × 6371000     		do = 113.515540639409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89034370-1.89039164) × cos(-1.19001411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371646772937408 × 6371000     		du = 113.510490642945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18999630)-sin(-1.19001411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371663307223168-0.371646772937408)×R²
    abs(1.89039164-1.89034370)×1.65342857594286e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65342857594286e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65342857594286e-05×40589641000000     		ar = 12880.0392377047m²