Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104969 / 99883
↖ ↑ ↗
← S 68.182786°
E108.305969°		 ← 113.51 m → S 68.182786°
E108.308716°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 68.183807°
E108.305969°		 ← 113.51 m →
12 887 m²		 S 68.183807°
E108.308716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800853729248047 y=0.762050628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800853729248047 × 217)
    floor (0.800853729248047 × 131072)
    floor (104969.5)     		tx = 104969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762050628662109 × 217)
    floor (0.762050628662109 × 131072)
    floor (99883.5)     		ty = 99883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104969 / 99883 ti = "17/104969/99883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104969/99883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104969 ÷ 217
    104969 ÷ 131072     		x = 0.800849914550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99883 ÷ 217
    99883 ÷ 131072     		y = 0.762046813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800849914550781 × 2 - 1) × π
    0.601699829101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.89029576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762046813964844 × 2 - 1) × π
    -0.524093627929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.64648869125007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89029576} λ = 1.89029576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64648869125007))-π/2
    2×atan(0.192725440451663)-π/2
    2×0.190391106540791-π/2
    0.380782213081583-1.57079632675     		φ = -1.19001411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89029576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.305969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19001411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.182786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104969 KachelY 99883 1.89029576 -1.19001411 108.305969 -68.182786
    Oben rechts KachelX + 1 104970 KachelY 99883 1.89034370 -1.19001411 108.308716 -68.182786
    Unten links KachelX 104969 KachelY + 1 99884 1.89029576 -1.19003193 108.305969 -68.183807
    Unten rechts KachelX + 1 104970 KachelY + 1 99884 1.89034370 -1.19003193 108.308716 -68.183807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19001411--1.19003193) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dl = 113.531220000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19001411--1.19003193) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dr = 113.531220000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89029576-1.89034370) × cos(-1.19001411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371646772937408 × 6371000     		do = 113.510490642945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89029576-1.89034370) × cos(-1.19003193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371630229249955 × 6371000     		du = 113.505437774963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19001411)-sin(-1.19003193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371646772937408-0.371630229249955)×R²
    abs(1.89034370-1.89029576)×1.65436874528524e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65436874528524e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65436874528524e-05×40589641000000     		ar = 12886.6976567698m²