Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10496 / 13568
↖ ↑ ↗
← N 29.535229°
W 64.687500°		 ← 1 062.89 m → N 29.535229°
W 64.676514°		 →
↑
1 062.94 m
↓
↑
1 062.94 m
↓
N 29.525670°
W 64.687500°		 ← 1 062.99 m →
1 129 840 m²		 N 29.525670°
W 64.676514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.320327758789062 y=0.414077758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.320327758789062 × 215)
    floor (0.320327758789062 × 32768)
    floor (10496.5)     		tx = 10496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414077758789062 × 215)
    floor (0.414077758789062 × 32768)
    floor (13568.5)     		ty = 13568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10496 / 13568 ti = "15/10496/13568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10496/13568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10496 ÷ 215
    10496 ÷ 32768     		x = 0.3203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13568 ÷ 215
    13568 ÷ 32768     		y = 0.4140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3203125 × 2 - 1) × π
    -0.359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.12900986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4140625 × 2 - 1) × π
    0.171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.12900986} λ = -1.12900986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539961237320313))-π/2
    2×atan(1.71594034644969)-π/2
    2×1.04314166399364-π/2
    2.08628332798729-1.57079632675     		φ = 0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.12900986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -64.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10496 KachelY 13568 -1.12900986 0.51548700 -64.687500 29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 10497 KachelY 13568 -1.12881811 0.51548700 -64.676514 29.535229
    Unten links KachelX 10496 KachelY + 1 13569 -1.12900986 0.51532016 -64.687500 29.525670
    Unten rechts KachelX + 1 10497 KachelY + 1 13569 -1.12881811 0.51532016 -64.676514 29.525670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51548700-0.51532016) × R
    0.000166840000000001 × 6371000     		dl = 1062.93764000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51548700-0.51532016) × R
    0.000166840000000001 × 6371000     		dr = 1062.93764000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.12900986--1.12881811) × cos(0.51548700) × R
    0.000191749999999935 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 1062.89059462974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.12900986--1.12881811) × cos(0.51532016) × R
    0.000191749999999935 × 0.870134987739935 × 6371000     		du = 1062.99105382101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51548700)-sin(0.51532016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.870134987739935)×R²
    abs(-1.12881811--1.12900986)×8.22331070938764e-05×R²
    0.000191749999999935×8.22331070938764e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.22331070938764e-05×40589641000000     		ar = 1129839.81378249m²