Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104959 / 99841
↖ ↑ ↗
← S 68.139874°
E108.278503°		 ← 113.72 m → S 68.139874°
E108.281250°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
S 68.140897°
E108.278503°		 ← 113.72 m →
12 933 m²		 S 68.140897°
E108.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800777435302734 y=0.761730194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800777435302734 × 217)
    floor (0.800777435302734 × 131072)
    floor (104959.5)     		tx = 104959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761730194091797 × 217)
    floor (0.761730194091797 × 131072)
    floor (99841.5)     		ty = 99841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104959 / 99841 ti = "17/104959/99841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104959/99841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104959 ÷ 217
    104959 ÷ 131072     		x = 0.800773620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99841 ÷ 217
    99841 ÷ 131072     		y = 0.761726379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800773620605469 × 2 - 1) × π
    0.601547241210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.88981639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761726379394531 × 2 - 1) × π
    -0.523452758789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.64447534146603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88981639} λ = 1.88981639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64447534146603))-π/2
    2×atan(0.193113855051596)-π/2
    2×0.190765583843983-π/2
    0.381531167687967-1.57079632675     		φ = -1.18926516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88981639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.278503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18926516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.139874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104959 KachelY 99841 1.88981639 -1.18926516 108.278503 -68.139874
    Oben rechts KachelX + 1 104960 KachelY 99841 1.88986433 -1.18926516 108.281250 -68.139874
    Unten links KachelX 104959 KachelY + 1 99842 1.88981639 -1.18928301 108.278503 -68.140897
    Unten rechts KachelX + 1 104960 KachelY + 1 99842 1.88986433 -1.18928301 108.281250 -68.140897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18926516--1.18928301) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dl = 113.722350000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18926516--1.18928301) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dr = 113.722350000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88981639-1.88986433) × cos(-1.18926516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372341974504759 × 6371000     		do = 113.722823096103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88981639-1.88986433) × cos(-1.18928301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372325407938873 × 6371000     		du = 113.717763240458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18926516)-sin(-1.18928301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372341974504759-0.372325407938873)×R²
    abs(1.88986433-1.88981639)×1.65665658860004e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65665658860004e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65665658860004e-05×40589641000000     		ar = 12932.5389820725m²