Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104937 / 97735
↖ ↑ ↗
← S 65.882582°
E108.218079°		 ← 124.80 m → S 65.882582°
E108.220825°		 →
↑
124.81 m
↓
↑
124.81 m
↓
S 65.883704°
E108.218079°		 ← 124.79 m →
15 576 m²		 S 65.883704°
E108.220825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800609588623047 y=0.745662689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800609588623047 × 217)
    floor (0.800609588623047 × 131072)
    floor (104937.5)     		tx = 104937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745662689208984 × 217)
    floor (0.745662689208984 × 131072)
    floor (97735.5)     		ty = 97735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104937 / 97735 ti = "17/104937/97735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104937/97735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104937 ÷ 217
    104937 ÷ 131072     		x = 0.800605773925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97735 ÷ 217
    97735 ÷ 131072     		y = 0.745658874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800605773925781 × 2 - 1) × π
    0.601211547851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.88876178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745658874511719 × 2 - 1) × π
    -0.491317749023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.54352023086619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88876178} λ = 1.88876178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54352023086619))-π/2
    2×atan(0.21362775720735)-π/2
    2×0.21046417733708-π/2
    0.42092835467416-1.57079632675     		φ = -1.14986797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88876178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.218079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14986797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.882582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104937 KachelY 97735 1.88876178 -1.14986797 108.218079 -65.882582
    Oben rechts KachelX + 1 104938 KachelY 97735 1.88880972 -1.14986797 108.220825 -65.882582
    Unten links KachelX 104937 KachelY + 1 97736 1.88876178 -1.14988756 108.218079 -65.883704
    Unten rechts KachelX + 1 104938 KachelY + 1 97736 1.88880972 -1.14988756 108.220825 -65.883704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14986797--1.14988756) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dl = 124.807889999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14986797--1.14988756) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dr = 124.807889999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88876178-1.88880972) × cos(-1.14986797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408607949546479 × 6371000     		do = 124.799385360034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88876178-1.88880972) × cos(-1.14988756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408590069479181 × 6371000     		du = 124.793924327248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14986797)-sin(-1.14988756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408607949546479-0.408590069479181)×R²
    abs(1.88880972-1.88876178)×1.78800672984702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78800672984702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78800672984702e-05×40589641000000     		ar = 15575.6071705449m²