Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104936 / 97737
↖ ↑ ↗
← S 65.884827°
E108.215332°		 ← 124.76 m → S 65.884827°
E108.218079°		 →
↑
124.74 m
↓
↑
124.74 m
↓
S 65.885948°
E108.215332°		 ← 124.76 m →
15 563 m²		 S 65.885948°
E108.218079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800601959228516 y=0.745677947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800601959228516 × 217)
    floor (0.800601959228516 × 131072)
    floor (104936.5)     		tx = 104936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745677947998047 × 217)
    floor (0.745677947998047 × 131072)
    floor (97737.5)     		ty = 97737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104936 / 97737 ti = "17/104936/97737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104936/97737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104936 ÷ 217
    104936 ÷ 131072     		x = 0.80059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97737 ÷ 217
    97737 ÷ 131072     		y = 0.745674133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80059814453125 × 2 - 1) × π
    0.6011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.88871385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745674133300781 × 2 - 1) × π
    -0.491348266601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.54361610466543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88871385} λ = 1.88871385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54361610466543))-π/2
    2×atan(0.213607276884422)-π/2
    2×0.210444590795889-π/2
    0.420889181591777-1.57079632675     		φ = -1.14990715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88871385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.215332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14990715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.884827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104936 KachelY 97737 1.88871385 -1.14990715 108.215332 -65.884827
    Oben rechts KachelX + 1 104937 KachelY 97737 1.88876178 -1.14990715 108.218079 -65.884827
    Unten links KachelX 104936 KachelY + 1 97738 1.88871385 -1.14992673 108.215332 -65.885948
    Unten rechts KachelX + 1 104937 KachelY + 1 97738 1.88876178 -1.14992673 108.218079 -65.885948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14990715--1.14992673) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dl = 124.744180000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14990715--1.14992673) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dr = 124.744180000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88871385-1.88876178) × cos(-1.14990715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408572189255079 × 6371000     		do = 124.762433112551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88871385-1.88876178) × cos(-1.14992673) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408554318001519 × 6371000     		du = 124.756975910286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14990715)-sin(-1.14992673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408572189255079-0.408554318001519)×R²
    abs(1.88876178-1.88871385)×1.78712535592318e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78712535592318e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78712535592318e-05×40589641000000     		ar = 15563.047036795m²