Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104930 / 53666
↖ ↑ ↗
← N 30.972899°
E108.198852°		 ← 261.88 m → N 30.972899°
E108.201599°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
N 30.970544°
E108.198852°		 ← 261.88 m →
68 572 m²		 N 30.970544°
E108.201599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800556182861328 y=0.409442901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800556182861328 × 217)
    floor (0.800556182861328 × 131072)
    floor (104930.5)     		tx = 104930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409442901611328 × 217)
    floor (0.409442901611328 × 131072)
    floor (53666.5)     		ty = 53666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104930 / 53666 ti = "17/104930/53666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104930/53666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104930 ÷ 217
    104930 ÷ 131072     		x = 0.800552368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53666 ÷ 217
    53666 ÷ 131072     		y = 0.409439086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800552368164062 × 2 - 1) × π
    0.601104736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88842622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409439086914062 × 2 - 1) × π
    0.181121826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.569010998490067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88842622} λ = 1.88842622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569010998490067))-π/2
    2×atan(1.76651909715709)-π/2
    2×1.0556876993256-π/2
    2.1113753986512-1.57079632675     		φ = 0.54057907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88842622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.198852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54057907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.972899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104930 KachelY 53666 1.88842622 0.54057907 108.198852 30.972899
    Oben rechts KachelX + 1 104931 KachelY 53666 1.88847416 0.54057907 108.201599 30.972899
    Unten links KachelX 104930 KachelY + 1 53667 1.88842622 0.54053797 108.198852 30.970544
    Unten rechts KachelX + 1 104931 KachelY + 1 53667 1.88847416 0.54053797 108.201599 30.970544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54057907-0.54053797) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54057907-0.54053797) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88842622-1.88847416) × cos(0.54057907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.857410816847457 × 6371000     		do = 261.875333219467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88842622-1.88847416) × cos(0.54053797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.857431967522266 × 6371000     		du = 261.881793179972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54057907)-sin(0.54053797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857410816847457-0.857431967522266)×R²
    abs(1.88847416-1.88842622)×2.11506748089008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11506748089008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11506748089008e-05×40589641000000     		ar = 68572.4042143815m²