Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104910 / 97911
↖ ↑ ↗
← S 66.079343°
E108.143921°		 ← 123.82 m → S 66.079343°
E108.146667°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
S 66.080457°
E108.143921°		 ← 123.81 m →
15 327 m²		 S 66.080457°
E108.146667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800403594970703 y=0.747005462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800403594970703 × 217)
    floor (0.800403594970703 × 131072)
    floor (104910.5)     		tx = 104910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747005462646484 × 217)
    floor (0.747005462646484 × 131072)
    floor (97911.5)     		ty = 97911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104910 / 97911 ti = "17/104910/97911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104910/97911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104910 ÷ 217
    104910 ÷ 131072     		x = 0.800399780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97911 ÷ 217
    97911 ÷ 131072     		y = 0.747001647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800399780273438 × 2 - 1) × π
    0.600799560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.88746749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747001647949219 × 2 - 1) × π
    -0.494003295898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.55195712519932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88746749} λ = 1.88746749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55195712519932))-π/2
    2×atan(0.211832984194459)-π/2
    2×0.208747109265447-π/2
    0.417494218530893-1.57079632675     		φ = -1.15330211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88746749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.143921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15330211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.079343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104910 KachelY 97911 1.88746749 -1.15330211 108.143921 -66.079343
    Oben rechts KachelX + 1 104911 KachelY 97911 1.88751542 -1.15330211 108.146667 -66.079343
    Unten links KachelX 104910 KachelY + 1 97912 1.88746749 -1.15332154 108.143921 -66.080457
    Unten rechts KachelX + 1 104911 KachelY + 1 97912 1.88751542 -1.15332154 108.146667 -66.080457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15330211--1.15332154) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15330211--1.15332154) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88746749-1.88751542) × cos(-1.15330211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405471172369574 × 6371000     		do = 123.815500301329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88746749-1.88751542) × cos(-1.15332154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405453411177863 × 6371000     		du = 123.810076707773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15330211)-sin(-1.15332154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405471172369574-0.405453411177863)×R²
    abs(1.88751542-1.88746749)×1.77611917108744e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77611917108744e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77611917108744e-05×40589641000000     		ar = 15326.6030846132m²