Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104910 / 97798
↖ ↑ ↗
← S 65.953188°
E108.143921°		 ← 124.43 m → S 65.953188°
E108.146667°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
S 65.954307°
E108.143921°		 ← 124.42 m →
15 482 m²		 S 65.954307°
E108.146667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800403594970703 y=0.746143341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800403594970703 × 217)
    floor (0.800403594970703 × 131072)
    floor (104910.5)     		tx = 104910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746143341064453 × 217)
    floor (0.746143341064453 × 131072)
    floor (97798.5)     		ty = 97798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104910 / 97798 ti = "17/104910/97798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104910/97798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104910 ÷ 217
    104910 ÷ 131072     		x = 0.800399780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97798 ÷ 217
    97798 ÷ 131072     		y = 0.746139526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800399780273438 × 2 - 1) × π
    0.600799560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.88746749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746139526367188 × 2 - 1) × π
    -0.492279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54654025554225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88746749} λ = 1.88746749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54654025554225))-π/2
    2×atan(0.212983569330346)-π/2
    2×0.20984802402572-π/2
    0.41969604805144-1.57079632675     		φ = -1.15110028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88746749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.143921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15110028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.953188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104910 KachelY 97798 1.88746749 -1.15110028 108.143921 -65.953188
    Oben rechts KachelX + 1 104911 KachelY 97798 1.88751542 -1.15110028 108.146667 -65.953188
    Unten links KachelX 104910 KachelY + 1 97799 1.88746749 -1.15111981 108.143921 -65.954307
    Unten rechts KachelX + 1 104911 KachelY + 1 97799 1.88751542 -1.15111981 108.146667 -65.954307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15110028--1.15111981) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dl = 124.425629999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15110028--1.15111981) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dr = 124.425629999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88746749-1.88751542) × cos(-1.15110028) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407482897917897 × 6371000     		do = 124.429804898568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88746749-1.88751542) × cos(-1.15111981) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407465062793456 × 6371000     		du = 124.424358728763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15110028)-sin(-1.15111981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407482897917897-0.407465062793456)×R²
    abs(1.88751542-1.88746749)×1.78351244405905e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78351244405905e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78351244405905e-05×40589641000000     		ar = 15481.9180442469m²