Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104905 / 97477
↖ ↑ ↗
← S 65.591395°
E108.130188°		 ← 126.21 m → S 65.591395°
E108.132935°		 →
↑
126.21 m
↓
↑
126.21 m
↓
S 65.592530°
E108.130188°		 ← 126.21 m →
15 929 m²		 S 65.592530°
E108.132935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800365447998047 y=0.743694305419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800365447998047 × 217)
    floor (0.800365447998047 × 131072)
    floor (104905.5)     		tx = 104905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743694305419922 × 217)
    floor (0.743694305419922 × 131072)
    floor (97477.5)     		ty = 97477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104905 / 97477 ti = "17/104905/97477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104905/97477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104905 ÷ 217
    104905 ÷ 131072     		x = 0.800361633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97477 ÷ 217
    97477 ÷ 131072     		y = 0.743690490722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800361633300781 × 2 - 1) × π
    0.600723266601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.88722780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743690490722656 × 2 - 1) × π
    -0.487380981445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.53115251076421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88722780} λ = 1.88722780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53115251076421))-π/2
    2×atan(0.216286251383471)-π/2
    2×0.213005255899587-π/2
    0.426010511799175-1.57079632675     		φ = -1.14478581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88722780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.130188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14478581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.591395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104905 KachelY 97477 1.88722780 -1.14478581 108.130188 -65.591395
    Oben rechts KachelX + 1 104906 KachelY 97477 1.88727574 -1.14478581 108.132935 -65.591395
    Unten links KachelX 104905 KachelY + 1 97478 1.88722780 -1.14480562 108.130188 -65.592530
    Unten rechts KachelX + 1 104906 KachelY + 1 97478 1.88727574 -1.14480562 108.132935 -65.592530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14478581--1.14480562) × R
    1.98100000001755e-05 × 6371000     		dl = 126.209510001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14478581--1.14480562) × R
    1.98100000001755e-05 × 6371000     		dr = 126.209510001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88722780-1.88727574) × cos(-1.14478581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413241191007727 × 6371000     		do = 126.214496561934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88722780-1.88727574) × cos(-1.14480562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413223151512533 × 6371000     		du = 126.208986835765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14478581)-sin(-1.14480562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413241191007727-0.413223151512533)×R²
    abs(1.88727574-1.88722780)×1.80394951942997e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80394951942997e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80394951942997e-05×40589641000000     		ar = 15929.1220766561m²