Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104900 / 97796
↖ ↑ ↗
← S 65.950949°
E108.116455°		 ← 124.44 m → S 65.950949°
E108.119201°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
S 65.952068°
E108.116455°		 ← 124.44 m →
15 483 m²		 S 65.952068°
E108.119201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800327301025391 y=0.746128082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800327301025391 × 217)
    floor (0.800327301025391 × 131072)
    floor (104900.5)     		tx = 104900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746128082275391 × 217)
    floor (0.746128082275391 × 131072)
    floor (97796.5)     		ty = 97796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104900 / 97796 ti = "17/104900/97796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104900/97796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104900 ÷ 217
    104900 ÷ 131072     		x = 0.800323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97796 ÷ 217
    97796 ÷ 131072     		y = 0.746124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800323486328125 × 2 - 1) × π
    0.60064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.88698812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.49224853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54644438174301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88698812} λ = 1.88698812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54644438174301))-π/2
    2×atan(0.213003989853194)-π/2
    2×0.209867558347678-π/2
    0.419735116695356-1.57079632675     		φ = -1.15106121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88698812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.116455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15106121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.950949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104900 KachelY 97796 1.88698812 -1.15106121 108.116455 -65.950949
    Oben rechts KachelX + 1 104901 KachelY 97796 1.88703605 -1.15106121 108.119201 -65.950949
    Unten links KachelX 104900 KachelY + 1 97797 1.88698812 -1.15108074 108.116455 -65.952068
    Unten rechts KachelX + 1 104901 KachelY + 1 97797 1.88703605 -1.15108074 108.119201 -65.952068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15106121--1.15108074) × R
    1.95300000001009e-05 × 6371000     		dl = 124.425630000643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15106121--1.15108074) × R
    1.95300000001009e-05 × 6371000     		dr = 124.425630000643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88698812-1.88703605) × cos(-1.15106121) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407518576832473 × 6371000     		do = 124.440699884351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88698812-1.88703605) × cos(-1.15108074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407500742018964 × 6371000     		du = 124.435253809493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15106121)-sin(-1.15108074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407518576832473-0.407500742018964)×R²
    abs(1.88703605-1.88698812)×1.78348135094208e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78348135094208e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78348135094208e-05×40589641000000     		ar = 15483.273665695m²