Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104898 / 97480
↖ ↑ ↗
← S 65.594800°
E108.110962°		 ← 126.20 m → S 65.594800°
E108.113709°		 →
↑
126.21 m
↓
↑
126.21 m
↓
S 65.595935°
E108.110962°		 ← 126.19 m →
15 927 m²		 S 65.595935°
E108.113709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800312042236328 y=0.743717193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800312042236328 × 217)
    floor (0.800312042236328 × 131072)
    floor (104898.5)     		tx = 104898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743717193603516 × 217)
    floor (0.743717193603516 × 131072)
    floor (97480.5)     		ty = 97480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104898 / 97480 ti = "17/104898/97480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104898/97480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104898 ÷ 217
    104898 ÷ 131072     		x = 0.800308227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97480 ÷ 217
    97480 ÷ 131072     		y = 0.74371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800308227539062 × 2 - 1) × π
    0.600616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88689224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4874267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53129632146307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88689224} λ = 1.88689224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53129632146307))-π/2
    2×atan(0.216255149342962)-π/2
    2×0.212975543593255-π/2
    0.425951087186511-1.57079632675     		φ = -1.14484524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88689224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.110962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14484524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.594800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104898 KachelY 97480 1.88689224 -1.14484524 108.110962 -65.594800
    Oben rechts KachelX + 1 104899 KachelY 97480 1.88694018 -1.14484524 108.113709 -65.594800
    Unten links KachelX 104898 KachelY + 1 97481 1.88689224 -1.14486505 108.110962 -65.595935
    Unten rechts KachelX + 1 104899 KachelY + 1 97481 1.88694018 -1.14486505 108.113709 -65.595935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14484524--1.14486505) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dl = 126.209509999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14484524--1.14486505) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dr = 126.209509999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88689224-1.88694018) × cos(-1.14484524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413187072035661 × 6371000     		do = 126.197967234842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88689224-1.88694018) × cos(-1.14486505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413169032053997 × 6371000     		du = 126.192457360093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14484524)-sin(-1.14486505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413187072035661-0.413169032053997)×R²
    abs(1.88694018-1.88689224)×1.80399816638865e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80399816638865e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80399816638865e-05×40589641000000     		ar = 15927.0359090566m²