Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104897 / 97469
↖ ↑ ↗
← S 65.582314°
E108.108216°		 ← 126.23 m → S 65.582314°
E108.110962°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
S 65.583450°
E108.108216°		 ← 126.23 m →
15 939 m²		 S 65.583450°
E108.110962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800304412841797 y=0.743633270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800304412841797 × 217)
    floor (0.800304412841797 × 131072)
    floor (104897.5)     		tx = 104897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743633270263672 × 217)
    floor (0.743633270263672 × 131072)
    floor (97469.5)     		ty = 97469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104897 / 97469 ti = "17/104897/97469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104897/97469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104897 ÷ 217
    104897 ÷ 131072     		x = 0.800300598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97469 ÷ 217
    97469 ÷ 131072     		y = 0.743629455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800300598144531 × 2 - 1) × π
    0.600601196289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.88684431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743629455566406 × 2 - 1) × π
    -0.487258911132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.53076901556725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88684431} λ = 1.88684431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53076901556725))-π/2
    2×atan(0.216369212028532)-π/2
    2×0.213084507741672-π/2
    0.426169015483344-1.57079632675     		φ = -1.14462731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88684431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.108216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14462731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.582314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104897 KachelY 97469 1.88684431 -1.14462731 108.108216 -65.582314
    Oben rechts KachelX + 1 104898 KachelY 97469 1.88689224 -1.14462731 108.110962 -65.582314
    Unten links KachelX 104897 KachelY + 1 97470 1.88684431 -1.14464713 108.108216 -65.583450
    Unten rechts KachelX + 1 104898 KachelY + 1 97470 1.88689224 -1.14464713 108.110962 -65.583450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14462731--1.14464713) × R
    1.98200000001147e-05 × 6371000     		dl = 126.273220000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14462731--1.14464713) × R
    1.98200000001147e-05 × 6371000     		dr = 126.273220000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88684431-1.88689224) × cos(-1.14462731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41338551934166 × 6371000     		do = 126.232241358851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88684431-1.88689224) × cos(-1.14464713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413367472038551 × 6371000     		du = 126.226730397738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14462731)-sin(-1.14464713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41338551934166-0.413367472038551)×R²
    abs(1.88689224-1.88684431)×1.80473031090589e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80473031090589e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80473031090589e-05×40589641000000     		ar = 15939.4036413056m²