Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104896 / 97470
↖ ↑ ↗
← S 65.583450°
E108.105469°		 ← 126.25 m → S 65.583450°
E108.108216°		 →
↑
126.21 m
↓
↑
126.21 m
↓
S 65.584585°
E108.105469°		 ← 126.25 m →
15 934 m²		 S 65.584585°
E108.108216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800296783447266 y=0.743640899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800296783447266 × 217)
    floor (0.800296783447266 × 131072)
    floor (104896.5)     		tx = 104896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743640899658203 × 217)
    floor (0.743640899658203 × 131072)
    floor (97470.5)     		ty = 97470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104896 / 97470 ti = "17/104896/97470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104896/97470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104896 ÷ 217
    104896 ÷ 131072     		x = 0.80029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97470 ÷ 217
    97470 ÷ 131072     		y = 0.743637084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80029296875 × 2 - 1) × π
    0.6005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.88679637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743637084960938 × 2 - 1) × π
    -0.487274169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53081695246687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88679637} λ = 1.88679637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53081695246687))-π/2
    2×atan(0.216358840207933)-π/2
    2×0.213074599747868-π/2
    0.426149199495737-1.57079632675     		φ = -1.14464713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88679637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14464713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.583450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104896 KachelY 97470 1.88679637 -1.14464713 108.105469 -65.583450
    Oben rechts KachelX + 1 104897 KachelY 97470 1.88684431 -1.14464713 108.108216 -65.583450
    Unten links KachelX 104896 KachelY + 1 97471 1.88679637 -1.14466694 108.105469 -65.584585
    Unten rechts KachelX + 1 104897 KachelY + 1 97471 1.88684431 -1.14466694 108.108216 -65.584585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14464713--1.14466694) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dl = 126.209509999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14464713--1.14466694) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dr = 126.209509999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88679637-1.88684431) × cos(-1.14464713) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.413367472038551 × 6371000     		do = 126.253066039806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88679637-1.88684431) × cos(-1.14466694) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.413349433678783 × 6371000     		du = 126.247556660425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14464713)-sin(-1.14466694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413367472038551-0.413349433678783)×R²
    abs(1.88684431-1.88679637)×1.80383597682132e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.80383597682132e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.80383597682132e-05×40589641000000     		ar = 15933.9899334139m²