Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104894 / 97475
↖ ↑ ↗
← S 65.589125°
E108.099976°		 ← 126.20 m → S 65.589125°
E108.102722°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
S 65.590261°
E108.099976°		 ← 126.19 m →
15 935 m²		 S 65.590261°
E108.102722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800281524658203 y=0.743679046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800281524658203 × 217)
    floor (0.800281524658203 × 131072)
    floor (104894.5)     		tx = 104894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743679046630859 × 217)
    floor (0.743679046630859 × 131072)
    floor (97475.5)     		ty = 97475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104894 / 97475 ti = "17/104894/97475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104894/97475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104894 ÷ 217
    104894 ÷ 131072     		x = 0.800277709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97475 ÷ 217
    97475 ÷ 131072     		y = 0.743675231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800277709960938 × 2 - 1) × π
    0.600555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.88670050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743675231933594 × 2 - 1) × π
    -0.487350463867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.53105663696497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88670050} λ = 1.88670050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53105663696497))-π/2
    2×atan(0.216306988562174)-π/2
    2×0.213025066265613-π/2
    0.426050132531227-1.57079632675     		φ = -1.14474619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88670050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.099976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14474619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.589125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104894 KachelY 97475 1.88670050 -1.14474619 108.099976 -65.589125
    Oben rechts KachelX + 1 104895 KachelY 97475 1.88674843 -1.14474619 108.102722 -65.589125
    Unten links KachelX 104894 KachelY + 1 97476 1.88670050 -1.14476601 108.099976 -65.590261
    Unten rechts KachelX + 1 104895 KachelY + 1 97476 1.88674843 -1.14476601 108.102722 -65.590261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14474619--1.14476601) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dl = 126.273219999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14474619--1.14476601) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dr = 126.273219999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88670050-1.88674843) × cos(-1.14474619) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413277269511596 × 6371000     		do = 126.199185970995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88670050-1.88674843) × cos(-1.14476601) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413259221234616 × 6371000     		du = 126.193674712499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14474619)-sin(-1.14476601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413277269511596-0.413259221234616)×R²
    abs(1.88674843-1.88670050)×1.80482769797097e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80482769797097e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80482769797097e-05×40589641000000     		ar = 15935.2296122023m²