Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104894 / 97472
↖ ↑ ↗
← S 65.585720°
E108.099976°		 ← 126.22 m → S 65.585720°
E108.102722°		 →
↑
126.21 m
↓
↑
126.21 m
↓
S 65.586855°
E108.099976°		 ← 126.21 m →
15 929 m²		 S 65.586855°
E108.102722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800281524658203 y=0.743656158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800281524658203 × 217)
    floor (0.800281524658203 × 131072)
    floor (104894.5)     		tx = 104894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743656158447266 × 217)
    floor (0.743656158447266 × 131072)
    floor (97472.5)     		ty = 97472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104894 / 97472 ti = "17/104894/97472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104894/97472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104894 ÷ 217
    104894 ÷ 131072     		x = 0.800277709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97472 ÷ 217
    97472 ÷ 131072     		y = 0.74365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800277709960938 × 2 - 1) × π
    0.600555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.88670050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74365234375 × 2 - 1) × π
    -0.4873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53091282626611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88670050} λ = 1.88670050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53091282626611))-π/2
    2×atan(0.216338098058253)-π/2
    2×0.213054785057659-π/2
    0.426109570115318-1.57079632675     		φ = -1.14468676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88670050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.099976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14468676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.585720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104894 KachelY 97472 1.88670050 -1.14468676 108.099976 -65.585720
    Oben rechts KachelX + 1 104895 KachelY 97472 1.88674843 -1.14468676 108.102722 -65.585720
    Unten links KachelX 104894 KachelY + 1 97473 1.88670050 -1.14470657 108.099976 -65.586855
    Unten rechts KachelX + 1 104895 KachelY + 1 97473 1.88674843 -1.14470657 108.102722 -65.586855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14468676--1.14470657) × R
    1.98100000001755e-05 × 6371000     		dl = 126.209510001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14468676--1.14470657) × R
    1.98100000001755e-05 × 6371000     		dr = 126.209510001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88670050-1.88674843) × cos(-1.14468676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413331386050995 × 6371000     		do = 126.215711107323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88670050-1.88674843) × cos(-1.14470657) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413313347366725 × 6371000     		du = 126.210202778076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14468676)-sin(-1.14470657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413331386050995-0.413313347366725)×R²
    abs(1.88674843-1.88670050)×1.80386842696945e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80386842696945e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80386842696945e-05×40589641000000     		ar = 15929.2754519912m²