Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104893 / 97473
↖ ↑ ↗
← S 65.586855°
E108.097229°		 ← 126.24 m → S 65.586855°
E108.099976°		 →
↑
126.21 m
↓
↑
126.21 m
↓
S 65.587990°
E108.097229°		 ← 126.23 m →
15 932 m²		 S 65.587990°
E108.099976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800273895263672 y=0.743663787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800273895263672 × 217)
    floor (0.800273895263672 × 131072)
    floor (104893.5)     		tx = 104893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743663787841797 × 217)
    floor (0.743663787841797 × 131072)
    floor (97473.5)     		ty = 97473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104893 / 97473 ti = "17/104893/97473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104893/97473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104893 ÷ 217
    104893 ÷ 131072     		x = 0.800270080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97473 ÷ 217
    97473 ÷ 131072     		y = 0.743659973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800270080566406 × 2 - 1) × π
    0.600540161132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.88665256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743659973144531 × 2 - 1) × π
    -0.487319946289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.53096076316573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88665256} λ = 1.88665256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53096076316573))-π/2
    2×atan(0.216327727729125)-π/2
    2×0.213044878361223-π/2
    0.426089756722446-1.57079632675     		φ = -1.14470657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88665256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.097229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14470657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.586855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104893 KachelY 97473 1.88665256 -1.14470657 108.097229 -65.586855
    Oben rechts KachelX + 1 104894 KachelY 97473 1.88670050 -1.14470657 108.099976 -65.586855
    Unten links KachelX 104893 KachelY + 1 97474 1.88665256 -1.14472638 108.097229 -65.587990
    Unten rechts KachelX + 1 104894 KachelY + 1 97474 1.88670050 -1.14472638 108.099976 -65.587990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14470657--1.14472638) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dl = 126.209509999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14470657--1.14472638) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dr = 126.209509999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88665256-1.88670050) × cos(-1.14470657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413313347366725 × 6371000     		do = 126.236534971276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88665256-1.88670050) × cos(-1.14472638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413295308520257 × 6371000     		du = 126.231025443245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14470657)-sin(-1.14472638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413313347366725-0.413295308520257)×R²
    abs(1.88670050-1.88665256)×1.80388464685599e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80388464685599e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80388464685599e-05×40589641000000     		ar = 15931.9035460334m²