Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104882 / 97799
↖ ↑ ↗
← S 65.954307°
E108.067016°		 ← 124.45 m → S 65.954307°
E108.069763°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
S 65.955426°
E108.067016°		 ← 124.44 m →
15 484 m²		 S 65.955426°
E108.069763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800189971923828 y=0.746150970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800189971923828 × 217)
    floor (0.800189971923828 × 131072)
    floor (104882.5)     		tx = 104882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746150970458984 × 217)
    floor (0.746150970458984 × 131072)
    floor (97799.5)     		ty = 97799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104882 / 97799 ti = "17/104882/97799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104882/97799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104882 ÷ 217
    104882 ÷ 131072     		x = 0.800186157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97799 ÷ 217
    97799 ÷ 131072     		y = 0.746147155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800186157226562 × 2 - 1) × π
    0.600372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88612525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746147155761719 × 2 - 1) × π
    -0.492294311523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.54658819244187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88612525} λ = 1.88612525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54658819244187))-π/2
    2×atan(0.212973359803071)-π/2
    2×0.20983825750608-π/2
    0.41967651501216-1.57079632675     		φ = -1.15111981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88612525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.067016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15111981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.954307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104882 KachelY 97799 1.88612525 -1.15111981 108.067016 -65.954307
    Oben rechts KachelX + 1 104883 KachelY 97799 1.88617319 -1.15111981 108.069763 -65.954307
    Unten links KachelX 104882 KachelY + 1 97800 1.88612525 -1.15113934 108.067016 -65.955426
    Unten rechts KachelX + 1 104883 KachelY + 1 97800 1.88617319 -1.15113934 108.069763 -65.955426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15111981--1.15113934) × R
    1.95300000001009e-05 × 6371000     		dl = 124.425630000643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15111981--1.15113934) × R
    1.95300000001009e-05 × 6371000     		dr = 124.425630000643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88612525-1.88617319) × cos(-1.15111981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407465062793456 × 6371000     		do = 124.450318327756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88612525-1.88617319) × cos(-1.15113934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407447227513599 × 6371000     		du = 124.444870974208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15111981)-sin(-1.15113934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407465062793456-0.407447227513599)×R²
    abs(1.88617319-1.88612525)×1.78352798564929e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78352798564929e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78352798564929e-05×40589641000000     		ar = 15484.4703669827m²